由因得果 解得在手

摘 要：对于考试中的压轴题，学生总是很畏惧。初中的教学非常注重学生的逻辑思维能力和解决问题能力的培养。平时的考试试题也考查学生分析问题的能力。特别是压轴题综合性强，需要学生去根据题干条件分析问题、解决问题。笔者所在年级段，有每周一次压题训练，目的是提升学生的解题能力，培养学生的思维能力。现以2018年福建省中考题最后一道压轴题为例，探索解法自然生成过程，希望能给学生们有所启示。

关键词：依存关系；分析能力；自然解法

一、 题目呈现

（2018·福建）已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）。

（1）若点（-2，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；

（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x10；当0

①求抛物线解析式；

②若点P与点O关于点A对称，且O、M、N三点共线，求证：PA平分∠MPN。

此題看似很复杂，其实只要读懂题干条件，顺着题干条件的意思顺藤摸瓜，思路就可以打开了。

二、 解法探究

（一） 靠拢高中 无独有偶

先对第（1）、（2）①这两问进行分析：（1）由抛物线经过点A可求出c=2，再代入（-2，0）即可得出2a-2b+2=0（a≠0）；

（2）①根据x10，有x1-x2<0，y1-y2<0，当x<0时，y随x的增大而增大；同理：当x>0时，y随x的增大而减小，由二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y轴且开口向下，进而可得出b=0，由抛物线的对称性可得出△ABC为等腰三角形，结合其有一个60°的内角可得出△ABC为等边三角形，设线段BC与y轴交于点D，根据等边三角形的性质可得出点C的坐标，再利用待定系数法可求出a值，即c=2，b=0，a=-1，抛物线的解析式为y=-x2+2；

（二） 过程繁琐 体现能力

②由①的结论可得出点M的坐标为（x1，-x21+2），点N的坐标为（x2，-x22+2），由O、M、N三点共线可得出

x2=-2x1，进而可得出点N及点N′的坐标，由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点N′在直线PM上，进而即可证出PA平分∠MPN。

②证明：由①可知，M的坐标为（x1，-x21+2），点N的坐标为（x2，-x22+2）。

直线OM的解析式为y=k1x（k1≠0）。

∵O、M、N三点共线，

∴x1≠0，x2≠0，且-x21+2x1=-x22+2x2，

∴x1x2=-2，即x2=-2x1，

∴点N的坐标为-2x1，-4x21+2。

设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为2x1，-4x21+2。

∵点P是点O关于点A的对称点，

∴OP=2OA=4，即点P的坐标为（0，4）。

设直线PM的解析式为y=k2x+4，

∵点M的坐标为（x1，-x21+2），

∴-x21+2=k2x1+4，即有k2=-x21+2x1，

∴直线PM的解析式为y=-x21+2x1x+4。

∵-x21+2x1·2x1+4=-2（x21+2）+4x21x21=-4x21+2，

∴点N′在直线PM上，即PA平分∠MPN。

（三） 借用三角函数 解决几何问题

②设直线MN：y=kx，则kx=-x2+2，

x1+x2=-k，x1x2=-2，x2=-k-x1

∵O、M、N三点共线，故不妨令M左，N右

作ME⊥y轴于E，NF⊥y轴于F，则P（0，4）

tan∠1=MEPE=-x14-y1=-x14-kx1=-x14-kx1·x2x2=x1x2kx1x2-4x2=1k+2x2

tan∠2=NFPF=-x24-y2=-x24-kx2=-x24-kx2·x1x1=x1x24x1-kx1x2=12x2+2

∴∠1=∠2，即PA平分∠MPN。

三、 解后反思

《立足学科本质 关注理性思维》提出数学学科的命题坚持“立足本质、着眼素养、合理综合、关注应用、适度创新”的原则，注重“四基”，突出能力，关注理性思维，明晰教学导向。

命题立足初中数学各板块知识所承载的教育价值，关注数学学科的育人功能，突出考查理性思维，“图形与几何”关注演绎推理，着重考查推理的逻辑性与条理性，关注论据的充分性，强调“言必有据”。

任何一种自然解法都是基于学生已有基础知识和解题经验，具有一定的思维含量。有的易想难算，有的易算难想。读懂题目，顺着题目的意思，根据自己所学知识摸出一条路线解决问题。改进我们的教学，引导学生分析挖掘好题中的奥妙，让压轴题回归到双基，这样数学学习才不再成为困难。

参考文献：

[1]叶先玖.顺知顺时自然解 回归回味顺势得[J].中学数学教学参考，2017（4）.

作者简介：周明珠，福建省泉州市，福建省泉州第一中学。