数学问题解答

2019年11月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

2511已知△ABC的角A,B,C的角平分线分别交边BC、AC、AB的垂直平分线于D、E、F，求证：△ABC的周长≤△DEF的周长.

( 山东省泰安市宁阳第一中学 刘才华 271400)

证明首先证明A,F,B,D,C,E六点共圆.

再证明△ABC的周长≤△DEF的周长.

设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理得△ABC的周长=2R(sinA+sinB+sinC).

在△DEF中，由∠DFE=∠DFC+∠EFC

故△ABC的周长≤△DEF的周长.

2512已知正数a,b,c,d满足abcd=1，求证：

(安徽省岳西县汤池中学 杨续亮 苏岳祥 246620)

证明先构造辅助不等式

求导

当0

当x>1时,

=-(2x4+x2+2x)+1<0，

≤f(x)max=f(1)=0，

以上四式相加可得

因此不等式

得证.

2513如图1，分别以△ABC边AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABDE和矩形ACFG,CD交BF于点P.若AB=kAE,AC=kAG,直线AP分别交BC、EG于点M、N.求证：(1)MN⊥BC.(2)点N是EG的中点.

(四川省巴中市巴州区大和初中 李发勇 636031)

图1

证明(1)如图2，作AK⊥CD,AS⊥BF.

连结AD、AF、BK、CS、KS.

易证AKBD、ASCF、AKPS四点共圆.

图2

在Rt△ABD和Rt△ACF中，

得tan∠BAD=tan∠CAF,

所以∠BAD=∠CAF,

所以∠BKD=∠BAD=∠CAF=∠CSF,

所以∠BKC=∠BSC,所以BKSC四点共圆，

所以∠BCK=∠BSK=∠PAK.

因为∠APK=∠CPM,

所以∠AMC=∠AKC=90°,所以AM⊥BC.

(2)如图2，过点E作EQ∥AG交AN延长线于点Q.

则∠AEQ=180°-∠EAG=∠BAC,

∠EAQ=90°-∠BAM=∠ABC.

所以△EAQ∽△ABC,

所以EQ=AG.

即点N是EG的中点.

(四川省成都华西中学 彭艳玲 张云华 610051)

证明因为a,b,c≥0,a+b+c=4,a2+b2+c2=6,

所以6=a2+b2+c2=(a+b)2-2ab+c2

=(4-c)2-2ab+c2,

故ab=c2-4c+5,

由0≤(a-b)2=(a+b)2-4ab

=(4-c)2-4(c2-4c+5)=-3c2+8c-4,

有abc=(c2-4c+5)c=c3-4c2+5c.

令f(x)=x3-4x2+5x,x∈R,

则abc=f(c),且f′(x)=3x2-8x+5.

(江西省高安市石脑二中 王典辉 330818)

证明设p1、p2、p分别为△ABD、△ADC、△ABC的半周长，r为△ABC的内切圆半径,r1、r2为⊙O1、⊙O2的半径.

因为S△ABC=S△ABD+S△ADC，

有r1p1+r2p2=rp.

①

易知p1+p2=p+AD

②

设I是△ABC的内心，过I作IF⊥AB、IN⊥AC，垂足分别为F、N.过△ABD的内心O1作O1E⊥AB,垂足为E;过△ADC的内心O2作O2M⊥AC，垂足为M.则E、M分别是⊙O1切AB的切点、⊙O2切AC的切点.有

BE=p1-AD,BF=p-b,CM=p2-AD,

CN=p-c.

因为O1、I分别为△ABD、△ABC的内心，

所以B、O1、I在一条直线上.

同理C、O2、I也在同一条直线上.

易证△BO1E∽△BIF，△CO2M∽△CIN.

③

由①、②、③，得AD2=p(p-a)

④

过O1作O1J⊥BC于J，过O2作O2K⊥BC于K，

有四边形O1JKO2为矩形，

则有O1O2=JK=AD-(p-a),

把上述三式相加得

由柯西不等式有

当且仅当△ABC为等边三角形时，等号成立.

2019年12月号问题

(来稿请注明出处——编者)

2516设x,y,z均为正数，求证：

( 湖北省公安县第一中学 杨先义434300)

2517已知如图1，在⊙O中，弦B1C1∥B2C2，且B1C1=B2C2，O1、O2分别为B1C1、B2C2的中点，点A在C2C1的延长线上，CF1⊥AO1于点F1，与AB1交于点E1，CF2⊥AO2于点F2，与AB2交于点E2.求证：

图1

(北京市朝阳区芳草地国际学校富力分校 郭文征 郭璋 100121)

2518设P是△ABC内的任意点,三条边长、外接圆半径与内切圆半径、点P到三边BC,CA,AB的距离分别为a,b,c,R,r,x,y,z,则有

(天津水运高级技工学校 黄兆麟 300456)

2519在△ABC中，AB>AC>BC，D，E，F，G四点分别在射线AB，CB，AC，BC上，且满足AD=CE=AC及AF=BG=AB，证明：△BDE的外心O1和△CFG的外心O2到点A的距离相等.

(河南辉县一中 贺基军 453600)

(安徽省太和县第二小学 任迪慧 236630)