一道动点类竞赛不等式的加强与推广

费红亮 曾善鹏

(1.杭州高级中学 310003；2.杭州电子信息职业学校 310021)

1 结论部分

本文符号约定如下：P是△ABC内任意一点，a,b,c是三角形三边，R表示△ABC外接圆半径，S表示△ABC的面积，P向三边BC,AC,AB作高线分别交边于D,E,F三点，PD,PE,PF分别用r1,r2,r3表示，PA,PB,PC分别用R1,R2,R3表示.

图1

2018年韩国数学竞赛中给出了如下一道几何不等式.

不等式P是△ABC内任意一点，S1，S2，S3分别表示△PBC，△PAC，△PAB的面积，求证：

(1)

首先将不等式(1)进行加强得到：

结论1P是△ABC内任意一点，O为△ABC外接圆圆心，S1，S2，S3分别表示△PBC，△PAC，△PAB的面积，求证：

(2)

接着将不等式(1)进行n元推广得到：

结论2P是△ABC内任意一点,S1，S2，S3分别表示△PBC，△PAC，△PAB的面积，自然数n≥1，则

(3)

实际上，我们可以得到不等式(1)加强的推广形式，其结论如下：

结论3P是△ABC内任意一点，O为△ABC外接圆圆心,S1，S2，S3分别表示△PBC，△PAC，△PAB的面积，自然数n≥1，则

(4)

注易知结论1和结论2是结论3的推论，因此要证明以上三个结论，只要证明结论3即可.

2 引理部分

引理1(惯性矩不等式)[1]若x,y,z为任意实数，则

(5)

当且仅当x∶y∶z=ar1∶br2∶cr3取到等号.

引理2(Gergonne公式)[2]P是△ABC内任意一点，O为△ABC外接圆圆心，P向三边BC,AC,AB作高线分别交边于D,E,F三点，S，S△DEF分别表示△ABC,△DEF的面积，则

3 证明部分

结论3的证明由引理1知，若取x=ar1，y=br2,z=cr3时，不等式(3)取到等号，即

=(br2×cr3)a2+(cr3×ar1)b2+(ar1×br2)c2.

=2R(r2r3a+r3r1b+r1r2c)，

所以得到恒等式

(6)

因为PD⊥BC,PE⊥AC,PF⊥AB,

所以有∠A+∠EPF=π,∠B+∠DPF=π,

∠C+∠DPE=π,

结合正弦定理以及三角形面积公式可得

2R(r2r3a+r3r1b+r1r2c)

=2R(2r2r3RsinA+2r3r1RsinB+r1r2RsinC)

=4R2(r2r3sinA+r3r1sinB+r1r2sinC)

=4R2(r2r3sin∠EPF+r3r1sin∠DPF+

r1r2sin∠DPE)

=4R2(2S△EPF+2S△DPF+2S△DPE)

=8R2S△DEF，

所以得到

2R(r2r3a+r3r1b+r1r2c)=8R2S△DEF

(7)

所以由恒等式(6)(7)可得

(8)

因此，由柯西不等式、幂平均不等式、恒等式(8)以及引理2可得

结论3得证.

4 猜想部分

在结论2中，分母的次数是2次，如果将2次换成任意正整数次，结论是否还成立，关于结论2，我们提出了如下猜想.

猜想P是△ABC内任意一点,S1，S2，S3分别表示△PBC，△PAC，△PAB的面积，自然数n≥1，m≥1，则有