数学证明：“元叙事”之解构与其诠释学意义

黄 秦 安

(陕西师范大学 数学与信息科学学院， 陕西 西安 710119)

数学证明的本质是什么？它是从无可置疑的正确前提到不容怀疑的正确结论的逻辑链条构成的技术文本吗？这个问题对持有绝对主义数学观念的数学家和哲学家来说，似乎问的有些多余。然而20世纪以来的数学发展，尤其是随着绝对主义和基础主义数学信念的破产，却迫使人们不得不重新审视何为数学证明的本质这一看似简单实则相当复杂的科学诠释学问题。通过对数学证明结构的多视角审视以及对若干典范性数学证明案例的分析可以断言，从来就没有一个不变的、永恒的、绝对的和形而上学的关于数学证明的元叙事模式。数学证明是一种具有特定语义内涵和语法结构、其意义随着知识与范式的变迁而不断变化的科学叙事。它具有鲜明的拟逻辑性、文本性与文本修辞性。所谓“拟逻辑性”是指超出纯粹逻辑界限且包含逻辑内核的各个部分所构成的“合金”形态；就文本性而言，数学证明的本质彰显了一种新的语言解释学，在属性上是一种基本的科学语言解释系统；从文本修辞性来看，数学证明的一个重要功能是为了说服。而数学证明以何种修辞手法说服自我与他人，就成为数学证明的一个具有鲜明主体间性的社会化语言计谋。作为一种特殊的科学叙事，数学证明校验并辩护了数学知识的相对独立性、数学真理的相对客观性和数学方法的自足性、局部性与普遍有效性。

一、 数学证明“元叙事”的渊源、兴盛与衰落

在数学发展的历史长河中，数学证明作为知识合法化的一种有效途径，不乏对宏大“元叙事”的追求和迷恋。为了论述的便利，首先对数学中的宏大叙事或元叙事概念予以界定。数学上的宏大叙事或元叙事是指那些想要包揽一切的、彻底解决所有相关问题的(其实是无法完全实现的)宏伟的、气势磅礴的数学规划。近代以来，笛卡尔的“万能代数方法”和莱布尼茨的“普遍语言”构想就是这样两个典范。在笛卡尔时代，人们用“universal mathematics”来表示包括代数和几何在内的、提供可靠运算和其他可以被测量和计算的量的法则的学问。[1]到了莱布尼兹那里，“Mathesis universalis”的含义是普遍数学或普遍科学。19世纪末，弗雷格提出把数学归约为逻辑的规划，后来被罗素和怀特海系统地表述为逻辑主义规划，也是数理逻辑学元叙事的一个典范。

追求知识的系统化、整体性和统一性构成了不同类型数学“元叙事”的共同特征。20世纪初，希尔伯特提出了证明论思想达到了数学证明“元叙事”的一个顶点,是真正数学语言学意义上的数学“元叙事”。“元数学”之本意乃是试图凌驾于数学之上的、更为基础的数学元知识。在“论无限”这篇著名的演讲中，希尔伯特表达了数学基础具有最高的数学知识权威性的元数学观点：“在某种意义上，数学成了一个仲裁法庭，一个裁决根本问题的最高法庭——这种裁决有具体的根据，这根据是每个人都能同意，并且每一个陈述都能据此得到控制的”[2]230。1930年，希尔伯特曾给出关于数学证明的一个标准的形式主义定义：“一个证明就是一组公式构成的程序，其中的公式或者是公理，或者是按某种推理规则从以前的公式得到的”[3]。然而这一定义却过于理想化和简单化了，只是20世纪初人们关于数学证明的一种基于形式逻辑视角的天真且理想化的观点。真正的数学证明其实很难达到完全意义上的纯粹性。事实上，这种具有终极意义的宏大叙事或元理论的基本立场在1931年哥德尔发表其著名的“不完全性定理”之后就遭到了整体性的失败。

作为数学基础主义和元纲领的一个典范，形式主义者把数学“元叙事”推向了极致。之后布尔巴基的结构主义思想是一个标准数学意义上的“宏大叙事”。与形式主义相比，结构主义模式中的“元”色彩有所淡化，但“宏大性”有增无减。从1935年成立开始，虽然布尔巴基的成员在不断变化，但其学派宗旨却始终如一，即“着手把整个数学放在一个统一的、一般的、进而是非常抽象的基础之上”[4]。布尔巴基学派计划完成一部百科全书式的数学巨著——《数学原理》，以期对全部现代数学进行一番彻底的整理和探讨。从1939年到1967年，布尔巴基共出版了33卷《数学原理》，每卷大约有100—300页，[5]可谓恢弘巨作。可以说，作为一种后基础主义运动，布尔巴基运动也许是数学发展史上最后一个具有真正宏大的元叙事性纲领了。经过半个世纪的辉煌，到1983年，布尔巴基出版了其最后一部著作之后就陷入了沉寂。

为什么诸如形式主义和结构主义这样的宏大“元叙事”会趋于衰落？究其原因，形式主义规划的突出特点是对数学“元知识”的盲目信仰。实际上，把数学知识问题通过上升至“元知识”层面来解决不失为一种高超的数学思想与策略，但过于强势和严苛的主张却给自我造成了认识论上难以逾越的障碍。在结构主义那里，对形式化结构系统的青睐、贬抑并排斥了难以结构化的数学对象和实体，自然就给自己设立了认识的局限和盲点。

无论是在形式主义还是在结构主义那里，严格性都是衡量数学知识可信性的一个重要指标。这一纯粹的数学内部严格性标准受到了来自多方的批评。著名数学家瑟斯顿(W. Thurston)指出：“当数学家在做数学的时候，更加依赖于想法的涌动和社会关于有效性的标准，而不是形式化的证明。”[6]在推测性数学的倡导者那里，数学传统的严格性受到严重质疑。其代表人物贾弗(A. Jaffe)和奎因(F. Quinn)在引起极大反响的《假设数学：走向数学和理论物理的文化综合》一文中，主张把数学分为由证明所确立的“严格数学”(rigorous mathematics)和建立在推测和直觉基础上的“假设数学”(theoretical mathematics)，并论证了允许“推测数学”(speculative mathematics)存在的理由。[7]在《证明和数学中的革命》一文中，贾弗还特别批评了布尔巴基的形式论证，认为随着数学的发展，人们日益感到有必要放宽证明严格化的标准，而“在另一个方向上，从柯西到布尔巴基的钟摆却晃得太远了”[8]。

从后现代哲学的视域看，以形式主义和结构主义为代表的基础主义元话语恰好成为许多后现代主义者予以解构的知识范例。法国哲学家利奥塔(J. F. Lyotard)站在后现代哲学的立场上对元叙事的合理性予以否定：“我们不再相信存在着一个能一劳永逸地捕捉住每一个最初级话语真理的具有特权的元话语。……所谓的元话语只不过是所有话语中的一种。”[9]333法国哲学家福柯主张放弃对知识基础和知识体系的追求，强调了非中心化世界的重要性。法国哲学家德里达(J. Derrida)作为解构主义的著名代表人物，秉承了尼采和海德格尔的反形而上学立场，发起了对追求普遍性、本质性的“逻各斯中心主义”的解构。在“书的终结和文字的开端”一章中，德里达描述了西方思想传统中“逻各斯”长期统治的状态：“决定真理的一切形而上因素，甚至海德格尔提醒我们的超越形而上本体神学的那个因素，无论以哪种方式理解该词的意义——在前苏格拉底或哲学的意义上，在上帝的无限理解或在人类文化学的意义上，在前黑格尔或后黑格尔的意义上，都或多或少与逻各斯密不可分，或与在逻各斯的线性发展中思考的一种理性密不可分。在这个逻各斯内部，与语音的原始和本质联系从没有间断过”[10]100。形式主义和结构主义等倡导的基础主义元叙事都是“逻各斯中心主义”在数学中的典型体现，其衰落也是“元叙事”难以为继的一个明证，进而“可选择的、多样化的数学文化形态和多元数学范式的建立，解构了存在唯一绝对的数学理念和真理的宏大叙事”。[11]

二、 数学证明中的“经验话语”与“拟逻辑”构态

数学证明“元叙事”规划的整体性破产，不仅印证了后现代主义者对“元叙事”质疑的普遍合理性，而且促使人们重新审视数学证明的性质，尤其是被长期忽略、贬抑和轻视的非宏大和非元化的叙事性质。为此有必要对数学证明的叙事本质和结构重新予以分析。相对而言，在被视为严格的(如形式化的)数学证明结构中，从原始命题(公理)到基本命题的导出基本上是一个由环环相扣的逻辑程式所组成的推理链条，如此设想的数学证明就排除了叙事性，即越出或溢出逻辑框架的数学话语。遗憾的是，严格化的证明过程与结构却并不是严丝合缝和免于叙事的。在起点上，除了数学中有些概念是未能严格定义的原始定义而减损了数学证明的可靠性之外，还有一些定义类型在逻辑上也不十分通畅。例如非直谓定义(1)非直谓定义是指一个被定义的对象包括在用来定义它的各个对象之中。就有循环定义之嫌，而这在逻辑上是难以自圆其说的。

比定义更令人棘手的是公理的合理性问题。按照拉卡托斯的看法，数学证明在逻辑结构上最薄弱的环节之一就是其起始部分，例如公理系统的初始选择。任何致力于解决这个薄弱环节的努力，就会陷入无穷回归。由于要避免“无穷回归”，所以必须认定一些不能加以证明的假设和前提，例如公理和原始定义。著名数学家彭加勒就指出：“一个几何对象的同一性不是由公理所强加的逻辑结构所决定的：它只是一种默会的假设；它是一种先于逻辑的未被说出的和‘在先’的存在。”[12]61-62由于不能陷入无穷回归，所以必须把某些假设当作是不可再予以追索的事实，这就是公理。那么哪些“事实性”和“经验性”的陈述可以作为公理呢？选取多少条就“刚好够了”(可以推出大多数预想的结果)呢？这些都是颇费思量而且难以取得一致意见的。在传统数学观念中，数学公理至少应该满足可靠性、自明性和与直觉的符合性等条件。然而这几条标准中没有一条是绝对可靠并免于质疑的。首先，公理并不是那么可靠的。公理远非天经地义和不可撼动的数学教条。有些公理其实可以用相反的原始命题加以替换并得到新的公理系统。其次，公理也不是那么自明的。自从非欧几何产生之后，人们也不再能用自明性来看待公理了。第三，公理及其推论也并不总是完全符合直觉。彭加勒认为，“在我看来……没有一个关于无限集合的命题能够在直觉上是明显的。”[13]73更有甚者，公理的本质其实并不仅仅是事实陈述，它还包含了定义，正如彭加勒所指出的：“几何学的公理只不过是隐蔽的定义”[14]46。

非形式化证明也是一种典型的“拟逻辑”构态。在当代数学中，有时候实效性会代替严格性，成为数学可接受性的标准。例如在理论物理学中对数学的依赖和使用十分频繁，而此时严格性的标准会大大降低。以数学物理方程为例，有许多方程的解并不是严格推导出来的，而是尝试和假设的结果，由于与实际相符合而被接受，这种非形式化的验证成为有效的标准。在被称为新潮数学的实验数学中，形式化和严格化的价值更是被极大地忽略了，取而代之的是用计算机进行的数学实验。[15]我们把这些不具备严格逻辑意义上的证明形态称之为“拟逻辑”构态。由于推测数学、实验数学等非形式化证明在数学知识的创造与构建中是不可避免，加之形式化证明的固有局限，因此，数学中所有的证明形式都不是一个完美的、天衣无缝的逻辑链条，其间许多缝隙被数学直觉和经验所填满。

更进一步看，在很多时候数学家所认可的数学原理或逻辑规则未必都完全一致。这种不一致性也会造成对何种命题为真、何种证明被认可的认识分野。美国数学家怀尔德(R. L. Wilder)曾明确表达了对存在绝对证明标准的怀疑：“显然我们不会拥有，而且也许永远不会有任何一个这样的证明标准，它能独立于时代，独立于所要证明之物，并且独立于使用它的个人或某个思想学派。在这种情况下，明智之举似乎就是承认，一般地来说，数学中根本就没有绝对真理这个东西，而不用去考虑公众是怎么想的”[16]。怀尔德将公理和连续统假设作为例证，他写道：“应该承认，如果没有用到上述原理中的一个或全部，许多数学实体的存在都是不能证明的”[16]。而事实是，许多直觉主义者是不接受在论证中采用诸如“实无限”以及颇有争议的“选择公理”这样的公理和原理所得到的证明的。事实上，把数学限制于严格的、苛刻的标准之下，只能造成数学发展的窒息。或许我们必须容忍的是，一些数学理论和知识可能只具有极为有限的严格性形式。而数学若想有更长足的进步，那么与其他科学知识在本体论和认识论上的交融将不可避免。

三、 数学证明中的文本修辞性与诠释学意义

随着不同时代数学范式和共同体的演变，数学证明构成了一种描述、辩解、修辞的复杂话语表达系统。无论是经验的验证还是逻辑的证明，究其本质都有难以避免的修辞和诠释色彩。所谓“修辞”，《辞海》中定义为“运用各种语文材料、各种表现手法，恰当地表现写说者所要表达的内容的言语活动”[17]292。加之数学证明固有的自我说明与解释特征，数学证明就具有特别独特和突出的修辞与诠释学涵义。

我们把数学中的文本修辞方法看作是为了更有效地传递数学信息、表达数学思想所采用的相比较而言在论证上更具感染力的话语表达方式。比如，人们通常会认为经过逻辑处理的或者更一般地经过公理化、符号化或形式化处理之后的数学体系会显示出更高的可信性，就是因为公理化等数学工具在人们心中具有更强的修辞说服力。一个权威数学家的话语权无疑要远远高于一个名不见经传的小字辈的声音。在此，“修辞”的含义不仅仅限于一般语言学意义上的“修辞”(即语词的修饰和言语的技巧)，它还有其自身知识的语境变迁及语言的默合性含义。例如，从素朴概念到精致概念的转换，像集合概念从朴素到公理化的语境转化和升华，从实质公理学到形式公理学的演进等，都是概念语境和公理表达方式变迁的知识典范；再比如，从悖谬性概念到逻辑化概念，如经典实数系中无穷小量概念在语言上的非法性到非标准分析中经过新的实数模型的构造所获得的合法性。上述例子都表明随着数学话语修辞性的不断增强，其理论说服力亦在不断提高。因此，数学的修辞特征本质上是数学知识发展与演化中语言维度变量与知识可信性交互促进的体现与投射。

如果仅仅把数学证明理解为一种特殊的修辞学，尚不足以揭示数学证明的全部本质。数学证明还是数学家为了说服别人相信自己的结论而构造出来的一种诠释学方法，正如一段精彩完整的故事告诉人们一个事件或人物的始末一样。与数学证明的修辞学相比，数学证明的诠释学具有更为广阔和深邃的语义能指。比普通的文学故事陈述性结构更为复杂的是，数学证明的本质作用之一是为命题的正确性提供一种合法化的诠释或解释，亦即让自己确信同时也向别人表明，何以某些数学事实和判断(命题)确实为真。在这一过程中，如何让一个证明令人信服就成为关键。英国著名数学家哈代在《数学证明》一文中表达了数学证明的这一特性：“对于一个数学家而言，一种哲学所要接受的决定性检验就是它应该给出关于命题和证明的某种合理的解释。”[18]这样一来，数学证明就不可避免带有一种具有群体倾向的认同感、主体性意识和主体间性的社会约定的色彩，我们称之为“文本的现象修辞与诠释性”。需要注意的是，这种现象修辞与诠释学也有一个随着数学知识的复杂而呈现出来的越来越高级与精致的修辞形式和文本结构。

赫斯(R. Hersh)在《证明就是说服和解释》一文中，首先指出了在英语中证明(prove)一词的基本意义，即试验、测试、确定事务的真实状态。然后提出了在数学中证明(proof)一词的两种含义：一是通常意义上的“确信一个适合的判断的论证”，二是专业的数理逻辑意义上的“按照谓词演算规则所进行的形式语句转换的序列”。 赫斯认为，“在数学研究中，数学证明的首要作用就是令人信服”。赫斯同时认为，除了使人确信之外，数学还可以进行解释。[19]一个数学证明如何才能令人信服呢？这个问题不仅与证明中呈现的数学事实的确凿性与推理的合法性有关，还与数学证明常常采用叙事与修辞的手法有关。欧内斯特相信，数学证明其实具有修辞性，是为了说服其他数学家而构想的说服性话语。[20]183

数学证明的文本合法性建基并依赖于当下数学共同体的信念以及相对一致的话语体系和标准。数学家马宁(Y. I. Manin)认为，“数学证明之所以被接受是因为它说服了个体(尤其是数学共同体中适当的代表人物)并使这些人相信它们提供了足够的理由，而不是因为它们满足外在的、客观的证明逻辑法则。”[20]46一个命题的数学证明一开始是数学家本人在直觉上坚信或相信这个命题是对的，然后就要寻求一种让其他数学家和数学共同体可以接受的方式，这个方式就是证明的文本构造。无疑，一个文笔优雅、行文流畅、循循善诱的证明要比语言粗糙、强人所难、充满语法错误的证明更容易获得广泛的认可。著名数学家阿蒂亚认为，“如果你想让其他人理解某个论证的基本构成，它在原则上就应该是简单和优美的。简单和优美是在数学框架内最容易对人类心智产生吸引力且被最好地理解的品质。”[21]英国著名数学家哈代甚至表达过数学证明只不过是装点门面的看法：“严格说起来，根本没有所谓的数学证明；……归根到底，我们只是指出了一些要点；……李特伍德(Littlewood)和我都把证明称之为废话，它是为打动某些人而编造的一堆华丽词藻，是讲演时用来演示的图片，是激发小学生想象力的工具。”[22]323虽然哈代的看法有些极端和片面，但却道出了数学证明的某种修辞学和诠释学本质。

斯玛特(H. R. Smart)提出，在日常的口头和书面表达以及法律、历史甚至科学文献中，“一般地存在着把演绎等同于推理的倾向，这两个词含义之间的差异很模糊的。……在科学文献等诸多表达中，存在着像‘从以上事实我推断出下列命题’；‘从这些精确的被证实的观察中，推断出这样那样的法则’；‘从给定的前提，你不能得出这样的推断’”[23]。19世纪末，持有形式主义或逻辑主义信念的数理逻辑学家相信他们可以从与经验数据无涉的纯粹思想中演绎出整个纯数学和纯逻辑。然而这种似乎排斥了任何修辞性的逻辑纯粹性其实只不过是一种虚幻的绝对主义信条而已。“一个科学推理过程的确立和合法性是不能通过与自身同样的过程来完成的。”[23]这就意味着，由于会陷入恶性循环，按照同样的逻辑原则从逻辑原则中获得演绎过程是不可能的。因此，数学推理和证明是不可能完全把自己置于与修辞学与诠释学无关的纯粹逻辑学圣地的。

四、 数学证明异于普通叙事的独特本质

作为一种特殊的科学叙事，数学证明在多重视角和语境之下都不能与普通的叙事模式划等号，其异于普通叙事的独特本质亦彰显了数学知识的话语特质。

首先，数学证明作为数学文化最显著的理论特征之一，展示了数学知识在语言系统上的相对独立性以及数学作为一种自主性真理的相对客观性。可以把这种相对独立性称之为数学证明的独立叙事特征。作为波普尔世界3的一种典范，数学共同体在一个时期内会形成相对稳定的共同体“宣言”和制度纲领。这就意味着，一旦认可了某个理论框架，其相应知识的语言表述，结构的演化、展开和完善就具有一种相对“自为”和“客观”的性质。此时，个人喜好和情感等主观色彩会被数学知识的客观性所吸收、规范和引导。例如，1930—1931年哥德尔不完全性定理的产生就是一个典型例子。正当希尔伯特等数学家努力完成形式主义的基本目标时，哥德尔不完全性定理诞生了，希尔伯特纲领遭到了巨大打击。那些相关的数学大师，如贝尔奈斯，虽然在内心里仍然存有抵触的情绪，但也会接受自己工作中的错误。在1939年出版的希尔伯特和贝尔奈斯合著的《数学基础》第2卷中，首先给出了哥德尔第二不完全性定理的完整证明。

其次，数学证明是与数学的语义、语法、语汇和语境等多要素交互性相关的，甚至可以说是由语义、语法、语汇和语境交互性决定的。数学哲学家亨佩尔断言：“数学的正确性既不依赖于所宣称的自明性，也不依赖于任何经验基础，这种正确性来自于那些决定数学概念含义的约定，因而数学命题在本质上是依定义为真的。”[24]223例如，“2+2=4”作为一个命题是否正确，取决于这个命题中所涉及的所有术语的规定性。比如，在二进制数码系统中，可识别的数码只有0和1，“2+2=4”就是一个没有任何意义的公式，因为2和4在二进制中都是无法识别的非法符号。而如果是在三进制中，则“2+2=11”，而4在三进制中是一个没有意义的符号。在四进制中，“2+2=10”才是正确的公式。在集合论语言中，如果用N0表示有理数集合的基数，那么加法的运算规则是N0+N0=N0，这就意味着，2N0=N0,……,nN0=N0。如果对应成上述形式，就有2N0+2N0=N0。在这里，普通的加法公式“2+2=4”同样是失效的。在向量的加法中，遵循着平行四边形法则。两个长度为2的向量相加，其结果是平行四边形一条对角线(同方向的)的长度，所以，2+2一般是小于或等于4的,即2+2≤4。维特根斯坦就敏锐地指出：“假定在算术中人们想将比如2×2=5附加到通行的公理之中，情况会怎么样？这自然意味着：现在同一性符号变换了其意义，也即，现在不同的规则适用于同一性符号了。”[25]17由上述分析可知，没有哪种普通的叙事模式具有数学证明叙事这么多样和复杂的语言交互性。

再次，数学证明在方法上的自足性、专业化和局部性也是其异于普通叙事模式的一个突出特征。数学证明的方法是在数学发展历程中逐步形成的。数学证明方法的自足性有两个基本含义：一是它不依赖于其他学科和知识的叙事方式和判别标准，而是自为和自足的。二是数学证明的方法是自洽的，即其意义和例证都在数学自身的范围和限度之内。就前者而言，与自然科学和人文社会科学的知识与真理判别标准不同，数学证明有自己的一套叙事规则、方式和模式。就后者而言，数学证明的叙事模式是领域相关的、局部有限的和高度专业化的。以专业化为例，高度的专业化是数学发展的一个基本特点，这同时也带来了数学证明方法的专门化。许多专业化的数学领域都有自己独有的方法。例如，甘岑(G. Gentzen)在允许超穷归纳的前提下证明了算术的无矛盾性，这种放宽了的希尔伯特元理论后来发展为证明论的分支，并得到了相应的发展。为了证明连续统假设的独立性，美国数理逻辑专家科恩(P. J. Cohen)创造了“力迫法”。20世纪60年代初，科恩通过创立“集合论力迫法”(2)力迫，是定义在模型和句子之间的一种关系。解决了连续统假设和ZFC公理系统的协调性和独立性。稍后，鲁滨逊(A. Robinson)把力迫法引入模型论，创立了模型论中的有限力迫和无限力迫两种方法。后来各种模型论力迫法层出不穷。模型论也因此获得了极大的发展。

数学证明独特的叙事特征不仅使数学与文学、历史、诗歌和艺术等传统人文学科在语言学的意义上得以分野，而且使得数学与自然科学的真理认证、话语呈现与表征方式厘清了关系。数学证明作为一种特殊的科学叙事，不仅为叙事这一古老又充满生机的话语表达形式增添了新的内涵，同时也从叙事的本源与本真意义上获取其科学解释学维度上新的意境。