新课标背景下立体几何教学基本问题与解决策略

禹文军

【摘要】立体几何是高中数学课程中培养学生抽象思维能力、直观想象能力和逻辑思维能力不可或缺的重要内容.但大多数学生学不通透，对定理、公式记忆不熟，书写步骤缺乏理性思维，缺乏空间想象力.因此，立体几何的教学应构建学习立体几何的一般思路和方法，循序渐进地安排训练，关注基本图形的作用，通过基本问题的解决策略来发展学生直观想象、逻辑推理等学科核心素养.

【关键词】新课标;立体几何;问题;策略

目前，新修订的2017版数学《高中课程标准》已经颁布实施.在发展学生核心素养理念的统领下，数学课程教学首要研究的问题是如何贯彻课程标准落实“四基”、培养“四能”、学会“三会”、发展“核心素养”.立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学分支[1].但大多数学生学不通透，对定理、公式记忆不熟，步骤书写不规范，思路不清晰，缺乏逻辑性，甚至把结论当已知用，尤其是证明题缺乏理性思维，缺乏空间想象力.

一、立体几何的教学基本问题

在基本立体图形的教学中，其主要的研究对象是观察空间图形柱、锥、台、球等和基本图形的位置关系.对基本立体图形和基本图形的位置关系，要让学生明确研究什么，怎么研究，使学生逐步体会抽象数学对象、提出数学问题的方法，提升发现和提出问题的能力[2].

对基本立体图形的研究，可以按照结构特征（包括相关定义）→平面表示（直观图）→面积和体积的研究路径呈现.这一过程中，针对具体的立体图形，也要呈现出一个由具体到抽象、逐步深入的研究过程，体现研究立体图形的基本思路和方法.

对基本图形位置关系的研究，则要按照定义→判定→性质的思路展开.在每一环节，可以通过提出问题，引导学生构建具体的研究思路，体会研究图形位置关系的过程.过程中要特别关注直线、平面这些基本元素，关注它们之间的关系以及确定这些元素的作用上述层层递进的问题，联系平面向量的知识（平面向量基本定理），既体现了研究平面与平面平行这一问题的研究过程，也有得到判定定理之后的反思，突出了研究基本图形位置关系的一般思路和方法，有利于培养学生发现和提出问题的能力.

二、立体几何基本问题解决策略

（一）视图与几何体的面积、体积问题

几何体的面积、体积问题是立体几何的基本问题，一些常见的问题是根据几何体的三视图来确定几何体的面积或体积，解决这类问题就需要还原几何体的实际形状，应先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧面与侧棱的特征，同时还要根据虚线和实线确定所对应的棱、面的位置，特别注意由各视图中观察者与几何体的相对位置与图中的虚实线来确定几何体的形状，最后根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系确定轮廓线的各个方向的尺寸.

解析 由三视图可知，该几何体的俯视图由一个半圆与一个三角形组成，正视图与侧视图均为等腰三角形，由此得出该几何体是由右侧的一个半圆锥和左侧的一个三棱锥拼接而成的组合体.由三视图中的数据可得其体积为V=13×12×2×4×4+12×13×π×22×4=8π+163，故选A.

涉及体积问题时先要研究几何体的构成，研究看是单一体还是组合体.如果分割后含三棱锥，求体积时等体积法是一种常用的方法，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法.在求空间几何体的面积问题时，首先应分清是侧面积还是表面积.多面体的表面积就是其展开图的面积也就是所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和.

（二）球与多面体的切接问题

与球有关的组合体问题，一般是外接和内切问题.解题时先从图形入手，认真分析，明确球心、切点和接点的位置，并做出合适的截面图，再确定有关元素间的数量关系，比如，长方体外接于球，球心是长方体体对角线的交点，长方体的顶点均在球面上，长方体的体对角线长等于球的直径;球的内接四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长.球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径.球内接于正三棱锥，球心在正三棱锥的一条高线上，涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系.球心与截面圆心的连线垂直圆面，其距离为d，常利用直角三角形建立量的关系，R2=d2+r2.

涉及球与柱、锥的切接问题时，一般通过球心及一些特殊点如接、切点作截面图，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径或直径与该几何体已知量的关系，列方程组求解.若球面上四点P，A，B，C构成的三条线PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解.

（三）空间中的平行与垂直问题

对基本图形位置关系的研究，则要按照定义→判定→性质的思路展开.在每一环节中，可以通过提出问题，引导学生构建具体的研究思路，体会研究图形位置關系的过程.过程中要特别关注直线、平面这些基本元素，关注它们之间的关系以及确定这些元素的作用上述层层递进的问题，从要解决的问题出发（平面与平面平行），联系以往的学习经验（直线与平面平行），联系确定一个平面的要素（相交直线或平行直线），突出了研究基本图形位置关系的一般思路和方法，有利于培养学生发现和提出问题的能力.平行、垂直关系的问题，常以柱体、锥体为载体，对空间中平行、垂直关系及体积中的探索性问题有利于培养学生的探索能力.

（3）解：线段AC上存在点M，使得EA∥平面FDM证明如下：取AC的中点M，连接MN，则MN是△ACE的中位线，所以MN∥EA，MN平面FDM，所以EA∥平面FDM.

对平行垂直问题的证明，可以利用转化法，将空间问题转化为平面几何问题来解决，也可利用空间向量的方法来解决.

（四）立体几何中的向量方法

向量是解决立体几何问题的重要工具，具有高效、快捷的特性.一般方法是选择适当基底或建立适当的空间坐标系，用向量表示问题中的相关量，将原问题转化为等价的向量问题，即将已知条件中的角转化为向量的夹角、线段长度转化为向量的模，并用已知向量表示出未知向量，然后进行相关的向量运算，最后利用向量的运算结果解释该问题，从而原问题得解.

利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于建立适当、正确的空间坐标系，难点是在已建好的坐标系中表示出一些一般点的坐标，对一般位置点的坐标可利用共线向量基本定理来确定其坐标.只有正确表示出已知点的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数化解法.空间向量的引入为解决空间几何问题开辟了另一种途径，它将空间几何问题数量化，从而把空间线面关系的逻辑推理证明与空间角、距离的求解变成了纯粹的数字运算问题，降低了思维的难度.

三、结 语

立体几何在发展学生的直观想象与逻辑推理等数学学科核心素养方面发挥着不可替代的作用.立体几何的教学，要结合立体几何内容的内在逻辑和学生的认知特点，构建研究框架和教材的结构体系，让学生体会从一般到特殊的研究立体图形及其位置关系的过程;在解决具体立体几何问题中，重视基本图形的作用，循序渐进地安排推理训练，让学生学会用数学的语言表达世界.这样，学生既掌握了“四基”，又提高了“四能”，并发展了“核心素养”，从而体现了立体几何教学的育人价值.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]李海东.基于核心素养的“立体几何初步”教材设计与教学设计[J].数学教育学报，2019（2）：8-11.