高中数学排列组合问题中的数学思想探究

☉江苏省吴江中学 苗春兰

排列组合问题不涉及新的计算方法，但是对思维能力的要求较高.要想学好这部分内容，学生需要掌握基本概念及基本原理，在日常学习中总结常见问题及相应的方法技巧，提高学习效率.在解决排列组合问题时，首先需要看清题目要求，辨别究竟是“排列”问题还是“组合”问题，选用准确的计算方法，而不是盲目套用计算公式.因此需要对高中排列组合问题的常见形式及相应解法进行总结，从而提高学生的求解速度与准确率.

一、常见问题及原因分析

1.理论知识薄弱

排列组合包含“排列”和“组合”两类问题，涉及的思维及计算公式存在较大差别.很多学生在审题时往往会产生混淆，无法正确区分问题类型，进而导致计算公式的选用错误，最终导致结果错误.

2.计算不当

虽然排列组合问题重点考查的是学生的思维能力，计算层面并没有涉及新的方法，但是很多学生在计算时粗心大意，经常出现重复计算或者遗漏数据的问题，导致失分甚至是不得分.

3.重要条件遗漏

排列组合问题的情境较为多样，问题形式变化较多，在求解过程中一个符号的改变有可能就会改变计算条件，使得整个计算过程偏离原有的分析思路.在审题阶段如果出现问题，那么就很容易遗漏重要的已知信息，导致“排列”或是“组合”类型的判断失误，最终无法正确求解出问题的结果.

二、排列组合中的数学思想探析

1.分类讨论

分类讨论思想的核心就是根据对象某一维度的差异性进行类别的划分，分类的关键就是分类原则的确定.在解决排列组合问题时，如何准确对所有可能的情况进行分类是这一类方法的关键，如果类别划分不当，学生很容易发生重复或者遗漏数据的问题；反之，如果类别划分合理，就会将复杂的问题简单化，既不重复，也不遗漏，准确求解出最终结果.

案例1 盒子里面有8个大小完全相同的小球，其中红色、黄色、蓝色各1个，分别表示一等奖、二等奖和三等奖，剩下5个为白色，表示不获奖.现将这些小球平均分给4个人，试讨论获奖情况.

分析：由已知条件可知，每个人会得到两个小球，可以进行如下分类：

（1）有一个人获得两个奖，一个人获得一个奖，剩下的两个人没有获奖；

（2）有三个人分别获得一个奖，剩下的一个人不获奖.

在进行分类处理时，不考虑内部的具体排布，因此上面的两种类别就可以将所有情况包含其中.接下来就是针对每一种类别展开计算.

解：（1）首先是从小球的角度考虑，从三个有奖的小球里面挑出两个，放在A位置，共有=3（种）可能，B位置为剩下的一个有奖小球及一个无奖小球，C、D位置各两个无差别的无奖小球；接着从抽奖人角度考虑，A、B位置为有奖，从4个人里面选2个出来，并且结果具有差异性，因此是排列问题，即=12.剩下的两堆无奖小球无差别，不存在先后顺序.因此共有=36（种）不同的获奖可能.

（2）从四个人里面挑出三个去分别获得不同的奖项，剩余的一个人置后考虑，不存在先后影响，因此共有（种）可能.

综上所述，共有60种不同的获奖情况.

2.数形结合

数形结合是一种常见的数学思想方法，在排列组合问题中也是如此，学生需要根据题目中的已知信息绘制相关图形来辅助思维，达到准确、快速解决问题的目的.

案例2假设有一平面，面上共有10个点，其中有4个点共线，除此之外不存在任何3点在同一直线上.试分析过其中的两点作直线，一共能画出多少条不同的直线.

分析：绘制直线的实质就是寻找到所有不同的两点组合，分析题干信息可知，这些点中，共线的4个点比较特殊，对于其他的6个点而言，由于不存在多点（大于2）共线的问题，因此彼此之间可以看成是相同的情况，只需要考虑其中一种就可以.因此，在绘制示意图时，选择共线的4个点及直线外的2个点进行分析，如图1所示.

解：采用分类的思想可以知道，所连直线共存在以下几种情况：

（1）由共线4点确定的直线，易知只存在1种情况；

3.递推

排列组合问题在解决时经常会用到分步计数原理，进而确定计算表达式进行求解，这其实就是一种递推的思想.

案例3学校教学楼门口的楼梯共有9级，假设上楼梯时最多只能一次跨3个台阶，试求解共有多少种不同的爬楼梯方法.

分析：假设走到第n个台阶共有s（n）种方法，如果第一步爬1个台阶，那么剩下的n-1个台阶共有s（n-1）种方法；如果第一步爬2个台阶，那么剩下的n-2个台阶共有s（n-2）种方法；如果第一步爬3个台阶，那么剩下的n-3个台阶共有s（n-3）种方法.易知s（n）=s（n-1）+s（n-2）+s（n-3）且满足s（1）=1，即第一步爬1个台阶；s（2）=2，即第一步、第二步分别爬1个台阶或第一步爬2个台阶这两种情况；s（3）=4，即每次爬1个台阶、一次性爬3个台阶、第一步1个台阶第二步2个台阶或者第一步2个台阶第二步1个台阶这四种情况.

解：由上述分析可知：

s（4）=s（3）+s（2）+s（1）=4+2+1=7；

s（5）=s（4）+s（3）+s（2）=7+4+2=13；

s（6）=s（5）+s（4）+s（3）=13+7+4=24；

s（7）=s（6）+s（5）+s（4）=24+13+7=44；

s（8）=s（7）+s（6）+s（5）=44+24+13=81；

s（9）=s（8）+s（7）+s（6）=81+44+24=149.

综上所述，共有149种不同的方法爬上这个9级台阶.

三、结束语

实际上，学生接触排列组合的知识并不是始于高中，早在小学时就已经接触过基础的计数问题.到高中阶段，问题情境更多样，难度也更大.总体来说，排列组合问题比较灵活，本文列举的只是其中的几种思想方法，诸如对称思想、类比思想、集合思想等也具有较强的适用性.在教学过程中，教师要注意两条线共同推进，即教材知识、方法技能的讲授这一条“明线”与数学思想的融入这条“暗线”，以此培养学生深入思考的习惯，提升学生的创新思维能力.

具体来说，排列组合问题对学生的思维能力要求较高，问题形式灵活多样.在解题过程中，学生常见的问题有两个，一是判断错“排列”或是“组合”问题类型，方法选用错误；二是计算不仔细，出现“重复”或是“遗漏”.因此，在日常学习中，学生要对常见的问题进行归纳总结，抽象成模型，同时要强化计算能力.作为教师，在教学环节需要凸显数学问题的本质，引导学生探索排列组合问题包含的数学思想，只有这样学生才能对这一类问题产生更深层次的理解，进而科学区分“排列”或是“组合”这两种问题类型，同时也能强化学生的学习与思维能力，促进学生的全面发展.