借助变式训练 培养解题能力

☉江苏省赣榆高级中学 李大才

在高考数学试卷中，变式题占了很大的比重，变式题源自于基础题，是对基础题的拓展及演变.因此对于高中生而言，必须深入透彻地理解数学知识，才能够正确地解决此类问题.针对基础题，高中生只需要掌握题型中所涉及的知识点以及考查点就能够轻松解决，但是对于变式题的解读，会存在一定的难度.教师应充分利用变式训练的方式，这样不仅可以使同学们聚焦其中所涉及的知识点，而且还可以拓展他们的视野，从而使他们把握正确的解题思路.以基础题型为对象而做出的演变或者延伸，既有助于提升学生的数学思维能力，同时也有助于促进学生的逻辑思维能力的发展，进而提升学生解决数学问题的能力.

一、借助“一题多变”训练，推进解题思维深度

在高中数学的解题教学中，教师要善于借助“一题多变”的训练来推进学生解题时的思维深度，这样，自然就能够有效地促进他们解题能力的提升.

1.改变原题表述方式

针对变式训练，其方法相对多元，首先需要保留原题的深层含义，其次就是对题型的表达方式进行相应的改变，这就是在实际解题的过程中运用相对普遍的变式训练的方法.

例如，有这样一道题：“已知定点A（-8，0），C（3，0），如果动点M（x，y）与点A、C组成的∠AMC恒为直角，求点M的轨迹方程.”对于这一道题，可以进行如下变式：

变式1：点A（-8，0）是直线H1上的一个点，点C（3，0）是直线H2上的一个点，直线H1与H2互相垂直，且其交点为点M，求点M的轨迹方程.

变式2：已知点A（-8，0），C（3，0），点M与A、C所形成的直线相互垂直，求点M的轨迹方程.

以上两道变式题和原题之间在表达已知条件方面是完全相同的，只是在表达的呈现方式方面存在一定的不同.对于高中生来说，在实际的解题过程中，只要能够准确地把握原题的深层含义，了解其中所涉及的知识点，就能够了解如何解题.这种变式训练方式有助于提升学生的思维变通能力，同时还有助于强化知识点之间

变式1：已知点F1，F2是椭圆的两个焦点，点=1 M是这个椭圆上的一个动点.如果∠F1MF2是钝角，那么点M的横坐标的取值范围是多少？

变式2：已知点M是椭圆上的一个点，点 、F1的衔接.

2.改变原题的问题

对原题的问题进行改变也是“一题多变”的有效方式之一，通过这样的解题训练对于培养学生的思维灵活性具有重要作用.F2是这个椭圆的左、右两个焦点，如果以M、F1、F2为顶点构成一个直角三角形，那么点M到x轴的距离是多少？

在变式1中，不管最终为锐角或者钝角，都应当以直角作为具体的参照目标，此题的解法也并非单一，最简便的解法就是几何解法，也就是以坐标原点O为圆心，以焦距F1F2的长为直径画圆，且与椭圆相交于四点，这也就意味着点M位于这四个交点时，∠F1MF2为直角；当点M分别位于x轴的上方或者下方且位于圆与椭圆的两交点之间时，∠F1MF2为钝角；对于锐角的情况也会比较清晰，也比较容易求出点M的横坐标的取值范围.

对于变式2，就是对原题中的直角这一条件做了改变，虽然给出了直角三角形F1MF2，但是未曾明确标出究竟哪个角为直角，所以这一题具有一定的灵活性.假如∠F1MF2=90°，只需要以焦距F1F2这一长度为直径画圆，明确圆与椭圆交点的纵坐标，因为焦半距很显然小于短，这也就意味着圆与椭圆之间并不存在交点；假如∠MF1F2=90°或∠MF2F1=90°时，就能够轻松地求出点M到x轴的距离.

3.改变原题的题设和问题

在原题的基础上，对题设和问题同时进行改变，能够有效地变式出具有层次性的题组，这对于培养高中生的解题能力具有重要的作用.

基于原有题型而设计的变式训练，不仅有助于转换学生的视角，而且有助于促进学生思维严谨性的提升，同时能够更有效地发掘学生的学习潜能，养成良好的学习习惯，还能够着重突出新课改中所提倡的创新思维教育这一教学理念.

二、借助“一题多解”训练，培养解题思维活度

在高中数学的解题教学中，组织学生开展一题多解训练能够有效地培养他们解题时的思维活度.

1.“一题多解”式变式训练

数学知识之间往往存在着紧密的关联，即使在同一道习题中，也会存在不同的解题方法.如：“已知一个等边三角形ABC，如果过边BC的中点M作一条直线，使其与顶点A相交，如何证明∠BAC的角分线为AM.”在组织学生对这一习题进行变式训练时，可以让他们转化思维、转换视角，选择不同的方法来解决此题.

这种一题多解的训练方式在促进学生的思维活度及严谨性方面具有极为显著的作用，除此之外，还有助于树立学生的学习自信，发展学生的创新能力.

2.“一题多解”式解题对比

对于一题多变的变式训练而言，能够完全消除题海战术对学生所造成的负面影响，其所关注的重点在于知识点之间的互通性，教师可以立足于同一个知识点，向不同的方向发展和拓展，进而演变为多种类型的题目.

例如，已知一个直角三角形ABC，在斜边AB上取一点M，求AM＞AC的概率.变式训练可以将题目中的已知条件改为在直角三角形ABC中，选择过直角顶点C作一条射线，同时与斜边AB相交于点M，求AM＞AC的概率.这两道习题从表面上看极为相似，也是来自于相同的题目，但所涉及的考点却存在差异，这样的训练方式可以帮助学生理清数学概念，把握概念之间的异同，同时也能够培养学生良好的观察习惯，有助于提升学生的练习能力.

三、借助“多题归一”训练，培养解题思维精度

在高中阶段，虽然在考试中所涉及的题量较大，但是针对数学知识的考查大都集中于对理论知识的实践与应用方面，是基于解题模型做出的相应改变.因此，在具体的教学实践中，要采取多题归一的方式培养学生在解题过程中的思维精确度.

例如，求x+2x2+3x3+4x4+…+nxn的值（x≠0）.在实际解答过程中的首要任务就是需要假设 {an}为一个等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，与此同时a1和b1都为1，a3与b5的和为21，a5与b3的和为13，求：①{an}和{bn}的通项公式；②数列前n项和P.只需要经过简单分

n析便可发现，对于此题的解答而言，关键在于错位相减法，假如数列{Rn}能够满足条件，同时{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则此时对于数列{Rn}而言，前n项和都需要依靠错位相减法来求得.

步入高中阶段之后，数学题型的形式变化会日益突显，但是这并不意味着其本质也会发生改变.在实际教学过程中，教师应引导学生准确地把握问题的本质，避免其他信息的干扰.在解题训练中，学生要自主准备一个错题集，着重对错题进行专门的分类记录，对相似的题目类型进行总结.通过耐心探索，学生必然能够发现，虽然题目在问法上存在不同，但是其中却存在着非常紧密的关联.除此之外，还应当经常复习错题，及时对新旧知识展开对比，将知识点进行串联，自主地形成完善的知识体系.对于多题归一的变式训练而言，只要能够紧抓问题源头和问题本质，学生就能够轻松应对.

总之，对于高中数学而言，实际上所开展的是系统知识的学习，很多数学问题都是同根同源的，所以在设计变式训练的过程中，教师应当收集更多的变式训练的题源，同时在课堂教学的过程中适当地渗透变式习题，这样才能够有计划地引导学生关注变式习题，紧抓变式习题不变的本质，做到举一反三，融会贯通，并能够充分体会到数学学习的乐趣.高中数学知识的学习难度普遍较高，再加上高考的压力，如果数学成绩不理想，必然会严重打击学生的自信心，因此，教师应选择恰当的时机实施变式教学，既是为了促进学生思维能力的提升，也是为了使学生更高效地把握解题技巧，提高数学成绩.