高考导数压轴题的几种解法*
2019-01-31四川省内江师范学院数学与信息科学学院胡富雅
☉四川省内江师范学院数学与信息科学学院 胡富雅
☉四川省内江师范学院数学与信息科学学院 赵思林
近年来，以函数和导数命制的压轴题占据着高考数学的制高点，这些试题是命题专家将高中知识与大学知识进行巧妙结合，常常以高等数学知识为背景精心设计问题，注重考查学生的“四能”以及学生的数学核心素养和探究、创新意识.这些试题对考生来说往往具有一定的挑战性，其解题方法可以用高中知识去解决，自学过一些高等数学知识的考生也可以用高等数学知识去解决，显得简洁明快.本文对高考导数压轴题的解法加以总结，主要有单调性法、最值法、分离参数法、主元法等方法，并用这些方法对一些高考题进行了分析与点评.
一、单调性法
（1）若a=3，求（fx）的单调区间；
（2）证明：（fx）只有一个零点.
解析：（1）从略.
综上所述，f（x）只有一个零点.
点评：该题第（1）问考查了学生对导数单调性等基础知识的运用，而第（2）问题目很简单，但需要考生对零点存在性定理十分熟悉，此外，该题还需要学生会对函数赋值.
二、最值法
最值法在高考很多题目中都有涉及，与单调性等方面联系紧密，最值法常常结合分离参数法进行考查，在导数的恒成立问题中应用较为广泛，通过将原不等式进行变形，将一般的不等式转化为不等式的恒成立问题，从而求出方程某一边的最大值或最小值.
例2（2018年全国卷Ⅰ文科第21题）已知函数f（x）=aex-lnx-1.
（1）设x=2是f（x）的极值点，求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；
解析：（1）从略.
（2）证明：因为ex＞0，所以当lnx-1.设g（令g0，解得x=1，所以当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，所以 g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以x=1是g（x）的极小值点，所以g（x）min=g（1）=0，所以f（x）≥g（x）≥g（x）min=0.
三、分离参数法
对于原方程中含有自变量与参数的方程或者不等式，直接求导不可行的时候，我们常常采用分离参数的方法，将参数放在方程的一侧，在方程的另外一侧构造出新的函数，且分离参数隐性的需要满足两个条件，一是参数与自变量易于分离，二是分离参数后的方程易于求导或者进行相关变形、构造等，从而使解题更加容易.
例3（2018年全国卷Ⅱ理科第21题）已知函数f（x）=ex-ax2.
（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；
（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a.
解析：（1）从略.
（2）由（1）可知，当a＜1时，y=ex和y=ax2函数图像在y轴右半侧相切，设切点为x0，可得
点评：该题如果运用直接讨论法，计算过程比较烦琐，且容易出错.而运用参数分离法再结合函数图像则会使解题变得简单，考生也容易接受.
四、主元法
主元法是指在函数、方程或不等式当中含有多个参数时，选取其中的一个参数作为主变量，从而对这一主变量进行相关变形，构造出恰当的函数，主元法在极值点的偏移中运用较为广泛.
例4（2016年全国卷Ⅰ理文21）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.
（1）求a的取值范围；
（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2.
分析：（1）首先对函数求导，再对参数a进行分类讨论并确定零点的个数；（2）根据（1）可知x1，x2的取值范围及f（x）的单调性，要证明x1+x2＜2，只需证明f（x1）＞f（2-x2），即证明f（2-x2）＜0，代入原函数进行验证即可求解.
解：（1）由题意知，f′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）·（ex+2a）.
（i）当a=0时，则f（x）=（x-1）ex，f（x）只有一个零点.
（ii）当a＞0时，则当x∈（-∞，1），f′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0.所以f（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增.
（iii）当a＜0时，由f（′x）=0，解得x=1或x=ln（-2a）.
故f（x）存在两个零点.f′（x）＜0；当x∈（ln（-2a），+∞）时，f′（x）＞0.因此f（x）在（1，ln（-2a））上单调递减，在（ln（-2a），+∞）上单调递增.又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点.
综上所述，a的取值范围为（0，+∞）.
（2）不妨设x1＜x2.由（1）知，x1∈（-∞，1），x2∈（1，+∞），2-x2∈（-∞，1），f（x）在（-∞，1）上单调递减，所以x1+x2＜2等价于f（x1）＞f（2-x2），即f（2-x2）＜0，
所以f（2-x2）=-x2e2-x2-（x2-2）ex2.
设g（x）=-xe2-x-（x-2）ex，
则g′（x）=（x-1）（e2-x-ex）.
所以当x＞1时，g′（x）＜0，而g（1）=0，故当x＞1时，g（x）＜0.
从而g（x2）=f（2-x2）＜0，故x1+x2＜2.
点评：此题选了x2作为主元，若选x1作为主元，其解法相同.
