数学理解：在师生的有效对话中绽放精彩*

☉北京理工大学附属中学 何拓程

以学生为主体，关注学生的发展是新课改的重要理念，高中数学的新课程教学，倡导师生互动、合作交流的教学方式，课堂中师生的有效对话受到了老师们的高度关注，成为了一个热门话题.数学学习与理解紧密联系，理解体现着学习的内涵，数学学习的结果又反映了理解的程度.促进学生理解是数学教学的本质特性，数学教学中的矛盾和活动均是以学生理解知识为中心构建，并借助外显的行为表现的.由于数学是一门思维科学，因此数学教学是思维活动的教学，数学课堂是动态的思维场，通过对话能促进师生、生生之间的思维交流，数学课堂也因为对话变得更加生动活泼而富有灵气.这无疑是数学理解的过程.［1］著名的教育家叶澜教授说过：教学的本质意义是交往与对话.通过对话，师生的心灵距离才能拉近；通过对话，教师才能实现对学生真正有效的引导；通过对话，学生的个性才会有彰显的平台……因此，数学理解只有在师生的有效对话中才能绽放精彩.

一、在师生的有效对话中营造氛围启动探究

苏霍姆林斯基说过：“老师应该想办法使学生产生高昂的情绪，否则脑力劳动就会带来疲倦.没有欢欣鼓舞的心情，没有学习兴趣，学习也就成了负担.”因此，每一堂课都要注意调动学生的兴趣，开拓学生的思维，调动学生学习的积极性，并借助于情感传导，把学生引到无比瑰丽的知识世界.教师要善于运用多种方法创设情境、营造氛围，让师生共同融入到和谐的情境之中，以激发学生强烈的求知欲望，敢于说出自己的想法，乐于表达自己的心声，让探究学习活动在师生的有效对话中自然、顺畅地展开，从而使数学理解有一个美丽的开端.

案例1“三角函数的周期性”一课的教学片断

师（观看教室前面墙壁上贴的“课程表”，故意发出惊讶的声音）：一学期有二十多周，一百五十多天，为什么这个“课程表”只列出了五天的课程？

生1：从星期一到星期五，每周的课程都是一样的，即重复出现，所以只要列出星期一到星期五这五天的课程表，就可以知道这学期每一天的课程了.

师：很好！大家说，这种规律反映的是一个怎样的现象？

生（众）：周期现象.

师：在我们的经验中，此类现象多吗？

生2：很多啊，除“课程表”外，还有日出日落、月圆月缺、潮涨潮落、寒来暑往，等等，都呈现出这种周期性.

师：生2说得太好了，在自然界和我们的日常生活中，周期现象是大量存在的，那么，在我们的数学学习中，大家有接触过周期现象吗？

生3：有！正弦函数和余弦函数的函数值都是会重复出现的，它们都具有周期性.

师：非常好！正弦函数和余弦函数都具有周期性，称之为周期函数.这节课，我们就来研究三角函数的周期性.你们知道，什么叫函数的周期性吗？怎样的函数叫周期函数呢？

生4：函数值能重复出现的函数叫周期函数.

师：能把它作为周期函数的定义吗？

生（众）：这只是粗略的文字语言，表述不够精确.

师：先来看正弦函数f（x）=sinx，因为f（x+2π）=sin（x+2π）=sinx=f（x），所以当自变量x每增加2π时，正弦函数的函数值就会重复出现，因此正弦函数是周期函数，周期是2π.你能仿照上面的过程对余弦函数是周期函数来加以说明吗？

生5：余弦函数f（x）=cosx，因为f（x+2π）=cos（x+2π）=cosx=f（x），所以当自变量x每增加2π时，余弦函数的函数值就会重复出现，因此余弦函数是周期函数，周期是2π.

师：很好，下面我们就来研究三角函数的周期性（板书课题）.

……

数学理解并非空中楼阁，它是数学教学真正的核心目标.在教学活动中，所有教师都以自己的方式努力构建起学生的理解，而不仅仅是信息的获得和事实的记忆.因此，有效对话必须建立在学生现实学习的起点和理解能力上，教师需要充分认识到这一点，并以此为基点设计情境对话.教师的职能不仅仅是传递和训导，而是要更多地去激励与帮助；师生之间的关系不仅是以知识传递为纽带，更是以情感交流为纽带；教师的作用不再是去填满仓库，而是要点燃火炬.学生学习的灵感既要在静如止水的深思中产生，更要在宽松的情景中、积极的发言中和相互的辩论中突然闪现.在上述案例中，执教者以一个学生非常熟悉的“课程表”作为问题情境展开教学对话，通过师生的对话帮助学生认识自然界中大量存在的周期现象，自然流畅地过渡到将要学习的周期函数，进而提出研究函数的周期性这一话题，把学生带进函数周期性的探究活动中来，有效地调动了学生课堂参与的热情，为学生的探究学习营造出轻松愉悦、自然和谐的氛围，从而开启了数学理解之门.

二、在师生的有效对话中经历过程完善认知

建构主义学习理论认为，学生的学习不是知识由外到内的简单转移，而是通过新经验与原有生活知识经验的相互作用来充实、丰富和改造自己的知识经验.数学理解正是基于这样的认识，通过对话教学进行信息的交流互动，使知识增值、价值提升，从而建构出新的理解.因此，为使教学真正有效，就必须给学生充足的思考和对话的时间，让学生在师生的有效对话中经历知识的发生、发展的过程，建构起对新知识的认识和理解，使他们成为课堂学习的主人.从而使学生在有效对话的过程中实现知识的积淀、人文的浸润、智慧的构筑和心灵的沟通.同时也达到增进数学理解的目的.

案例2“直线的斜率”一课的教学片断

师：同学们研究过直线吗？

生（众）：在初中平面几何中学习过直线，还有一次函数y=kx+b的图象是直线.

师：很好！直线是大家熟悉的图形，请思考：确定一条直线需要哪些条件？

生1：两点确定一条直线.

师：还有其他确定直线的方法吗？小时侯玩过跷跷板游戏吧？

生2：噢，我知道了，一个点和直线的方向也能确定一条直线.

师：点可以用它的坐标来表示，那么方向用什么刻画呢？大家见过斜拉桥，其拉索可以看成是一条条方向不同的直线，对于桥面而言，它们的倾斜程度不同.那么，怎样来刻画直线的倾斜程度呢？

学生讨论，总结出倾斜程度和高度与宽度的比即坡度有关.

师：如果任意给出一条直线，你能判断出它的倾斜程度吗？以直线AB为例，已知两点A（x1，y1），B（x2，y2），你能用它们的坐标来刻画其倾斜程度吗？

生3：x1=x2时怎么办呢？点A和点B是随意取的吗？

师：生3提出了两个很有思考价值的问题，同学们思考一下该怎样解决这两个问题呢？

生4：当x1=x2时，上面的式子无意义，这表明：直线与x轴垂直时，其斜率不存在.

师：很好，也就是说，只有当x1≠x2时，即直线不与x轴垂直时，其斜率才存在.对生3的第二个问题，应该怎么解决呢？

生5：如果把A、B两点沿直线方向分别移动到A1和B1点，那么由A1、B1两点确定的直线斜率没有发生变化，这说明点A和点B可以随意取.

师：很好，现在同学们能给出直线斜率的定义吗？

……

数学知识间的内在联系十分紧密，任何新知识都因某种需要而产生，或者是在原有知识的基础上进行延伸和扩展，所以都有着发生、形成和发展的过程.如果压缩掉这一过程，就知识教知识，那么学生只能学到零散、孤立的知识，只能知其然而不能知其所以然，只能完成知识的简单积累，而不能使原有的知识得到扩充和改造，以实现对新知识的有效建构和深层理解.［2］本案例中，执教者精心设计了一系列问题，从确定直线的条件、直线的方向与直线的倾斜程度的关系、用坡度刻画直线的倾斜程度等入手，运用师生对话的方式，让学生在师生的平等交流和愉快对话中经历了直线斜率概念的形成过程，在直线的斜率与相关知识间的内在联系的基础上建构起对直线斜率概念的认识，深化了对直线斜率概念的理解，完善了认知，取得了数学理解的效果.

三、在师生的有效对话中探索规律启迪思维

普通高中数学课程标准（实验）中指出：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程.”［3］对学生而言，对话意味着心态的开放、主体性的凸现以及创造性的解放；对教师而言，对话意味着上课不仅要传授知识，而且要分享理解；对教学而言，对话意味着参与，即学生、数学教材、教师之间进行一次次真情地交流.数学理解的过程正是学生的心理矛盾和问题意识产生和解决的过程.启发学生大胆质疑、认真思考、积极探索，让学生探索规律、发现问题、提出问题、发表见解，使学生在对话的过程中实现思维碰撞，并学会数学思考，完成对知识、思想和方法的领悟与理解，从而更好地促进学生的技能提升和思维发展.

案例3“等比数列前n项和”一课的教学片断

师：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求.西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格.国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊.为什么呢？

师：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？

在教师的引导下，学生写出麦粒的总数：1+2+22+23+…+263.

师：你们知道这些麦子究竟有多少吗？

（带着这样的问题，学生会动手算起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和.教师对他们的思路给予肯定后，接着提问.）

师：1，2，22，23，…，263是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？

生1：是首项为1，公比为2的等比数列，要求的就是这个等比数列的前64项的和.

师：很好！设S64=1+2+22+23+…+263，记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？

生2：后一项都是前一项的2倍.

师：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，即（1）式两边同乘以2，则有2S64=2+22+23+…+263+264，记为（2）式.比较（1）、（2）两式，你有什么发现？

（经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式中有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：S64=264-1.）

师：这种方法叫做错位相减法.为什么（1）式两边要同乘以2呢？

生3：2是公比，乘以2后可以消去中间项.

师：非常好！我们能否将这个问题一般化呢？

生4：可以的.设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，运用上面的方法，可以求出前n项和Sn.

师：怎么求？试试看.

（这里，让学生自主完成，并喊一名学生上黑板进行板书，然后对个别学生进行指导.在学生推导完成后，进行交流.）

对不对？这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时Sn为多少？

（引导学生对q进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础.）

……

在推导等比数列前n项和公式的教学过程中，不少老师舍不得花时间让学生思考和交流，只是急急忙忙地抛出“错位相减法”，快速地推导出公式，然后进行大量的有关公式的应用训练，这样做有悖于学生的认知规律：由求和想到相加，这是合乎逻辑、顺理成章的事，为什么要相减呢？因为数学理解是在对研究对象的性质和关系深刻了解的基础上得到的解决问题的具体方法，这些方法不是老师告诉学生的，而是要让学生自己体会出来的.上述案例的教学处理，教师营造了一个让学生主动观察、积极思考的氛围，留出了足够的时间给学生探索，让学生交流，同时，教师从学生的思维角度预设出相应的问题来引导学生思考，让学生在思考中形成认识、产生顿悟，在师生的合作交流中明确规律，获取方法.在这里，师生的有效对话引领了学生的思考，激发了学生的热情，启迪了学生的思维，从而实现了数学理解.