理解数学：单元起始课教学设计的关键——以“一元二次方程（第1课）”教学为例

☉江苏省高邮市南海中学 冒琳琳

单元起始课（有些地区称之为章节统领课）的教学研究在最近两年得到一定的关注，不少教研活动中得到积极实施，因为这种课型没有机械地执行教材，是从“照本宣科”走向“用教材教”，不同的老师或团队研发的教学设计往往有很大的差异.笔者最近一段时间有机会在不同的教研活动现场，听了三节一元二次方程的单元起始课，教学内容差异很大，本文简要梳理出来，并跟进评析，供研讨.

一、“一元二次方程（第1课）”同课异构的听课记录

说明：限于篇幅，我们只整理三节课中一些“显著不同”的教学活动（片段）.

课例1：（片段）“一元二次方程（第1课）”开课阶段

问题1：请同学们回忆：在七年级上学期，学习一元一次方程时主要有哪些内容？我们是如何研究一元一次方程的？

教学组织：学生稍微思考后在小组内先交流一下，然后选派一个学生代表小组发言，教师通过适时追问，引导学生回忆梳理出一元一次方程的概念、相关概念，解一元一次方程的步骤，等等.

接着教师利用PPT出示3个一元二次方程，请学生观察：它们与一元一次方程有什么共同点？有什么不同点？未知数的个数和最高次数各是多少？

教学组织：学生观察后交流，归纳出共同特征：①整式，②一元，③2次.进一步类比一元一次方程的定义，得出一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫作一元二次方程（教师适时板书，形成板书的主要内容）.

问题2：请同学们回忆：一次函数是如何学习的？一次函数的一般形式是什么？

教学组织：学生很快复习了一次函数的概念、一般形式y=kx+b（k、b为常数，且k不为0）.通过对一次函数的一般形式的回忆，引导学生去猜想一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，整理成以下形式：ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数，且a不为0），我们把这种形式叫作一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.

听课随感：该课的开课阶段有15分钟左右在复习一元一次方程、一次函数的内容，师生对话或追问虽然比较多样，课堂氛围也比较热烈，但是用在复习旧知上的时间偏长，且作为本课所学内容一元二次方程是直接给出的，缺少必要的问题情境，比如，解决一些实际问题过程中，列出一元二次方程，然后类比旧知定义新知，这样的新知引出更有意义.

课例2：（片段）一元二次方程的情境创设

（课前练习）根据题意列出方程：

（1）设一个正方形的面积为100平方单位，求这个正方形的边长.设边长为a，可列方程为________________.

（2）两数之差为3，且这两个数之积为180，求这两个数.设这两个数中大数为k，可列方程为______________.

（3）某单位组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队伍参加比赛？设邀请x个队伍参赛，可列方程__________.

教学组织：上课时教师先组织学生订正、讲评“课前练习”，并安排学生把所列方程写在黑板上，在归纳出概念之前，先安排学生复习已学过哪些类型的方程，并追问学生这些方程的定义，然后观察黑板上所列方程，填写“学案”上的空白.

（1）一元二次方程：只含有_____个未知数，并且未知数的最高次数是_____的____方程叫一元二次方程.

（2）一元二次方程的一般形式是_______________，其中_____是二次项，______是二次项系数；_______是一次项，______是一次项系数；______是常数项.

简评：这种学案留白并不是“留白式学案”，而是限制学生思维的劣质学案，把学生的思路限制在这些所谓的标准框架之内，不利于学生自主发现、创造性思维的培养，是应该抛弃的学案设计方式.

接下来该课选配了不少训练题，巩固一元二次方程的概念及相关概念，多数都是常规的，其中有一道例题以题组形式呈现，摘记如下：

例（1）若（a-1）x2+ax-1=0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围为______.

（2）已知关于x的方程（|a|-1）x2+（a-1）x-1=0.

①若是关于x的一元二次方程，求a的取值范围.

②若是关于x的一元一次方程，求a的值.

（3）已知关于x的方程（a-1）x|a|+1+ax-1=0，当a为何值时，该方程是一元二次方程？

简评：这是一道劣质题，人为制造麻烦，把一元二次方程的定义歪曲为了解这种无趣的习题，让学生感受到处处是解题陷阱，不符合数学追求简洁的文化价值.即使从解题角度来看，深刻理解一元二次方程的定义可以发现，之所以定义“一般形式”，是为了后续研究解法，研究公式法，研究根的判别式，研究根与系数的关系，而不是为了让学生练习上述劣质题.作为一节公开课，教师及打磨团队对这类习题处理集体“无知无畏”的认知状态，让人遗憾.

课例3：（片段）一元二次方程的定义生成与跟进训练

课件出示问题：如何用一张长16cm、宽12cm的硬纸片做成一个底面积为96cm2的无盖的长方体盒子？

教学组织：学生很快设出未知数，列出一元二次方程.教师继续给出一个方程3x-2=15，问：这个方程同学们认识吗？这是什么方程？一元一次方程是如何定义的？我们在七年级是如何研究一元一次方程的？比较一下这两个方程的异同点，能不能根据你以往的学习经验给这种新的方程取个名字？学生很快就说出“一元二次方程”，并且顺利归纳出定义和一般形式，再跟进如下一些训练问题.

（1）关于x的方程mx2+m=nx2-nx是不是一元二次方程？说明你判断的依据.

（2）将下列方程化成一元二次方程的一般式，并说出各项及二次项、一次项的系数：

（x+1）2-2（x-1）2=6x-5；3x（x-1）=2（x+2）-4；（x+2）（x-4）=7.

简要评析之后，教师快速推进，引导学生探究一元二次方程的解法.

教学组织：接下来我们就从x2-4=0来研究一元二次方程的解法，根据你的学习经验，会解这个方程吗？在学生回答的基础上，教师介绍直接开平方法，并跟进追问：以上这题，你还有其他的解法吗？学生想到了“平方差公式”，根据因式分解的知识和“如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中有一个等于0，它们的积就等于0”，我们将方程化成两个因式的乘积等于0，这种解法我们称之为“因式分解法”.

教师适时出示练习：解方程②3x2-5x=0和③x2-2x-15=0.

学生很快用因式分解的方法完成了求解，教师组织学生归纳概括解一元二次方程的基本思想——降次.

简评：这节课有较好的章节起始课的味道，开课阶段简单明了，直奔主题，师生共同定义并归纳了一元二次方程的概念、相关概念，用一组练习初步辨析之后进入解法探究，并且让学生从不同方法感受到解一元二次方程的基本思想——降次，为后续深入、系统学习配方法提供了思想上的准备.

二、关于单元起始课教学的进一步思考

1.从理解数学出发构思单元起始课的教学立意

近年来，章建跃博士提出的“四个理解”（理解数学、理解教学、理解学生、理解技术）得到一线教师广泛响应，在很多课例设计中可以看出体现“四个理解”的元素，在这“四个理解”中，章博士多次强调离开“理解数学”则后续无意义，所以单元起始课的教学研究也要加强在理解数学上的钻研功夫.以一元二次方程为例，学生已学习了一元一次方程、一次函数、不等式组等知识，再到一元二次方程的学习，教师需要明辨这个新内容与此前所学内容的“同与不同”，在相同、相通之处可以快速推进，而在不同之处，慢下来、停下来，让学生充分辨析，这样就能明辨新知的重点与难点，找准教学用力点.

2.教学情境的创设要精选数学现实或生活现实

《义务教育数学课程标准（2011年版）》对之前过分重视生活现实引入新课进行了一定的纠偏，要求教师在新知引入环节注意平衡好生活现实、数学现实与其他学科现实.比如，基于理解数学的角度看一元二次方程，作为单元起始课，上面几个课例中，课例3的处理相对比较合理，以一个简明的生活情境引出一元二次方程，然后基于学生已有经验快速推进学程，在归纳生成一元二次方程的定义及相关概念之后，引导学生从“数的开方”角度研究一元二次方程的解法，并让学生初步感知了“降次”思想.这样的单元起始课教学设计，自然、合理，重点突出，有的放矢，可操作性强，值得我们借鉴和实践.