数列教学中学生学习障碍分析与对策研究

☉江苏省高邮市第一中学 周桂群

数列是一类特殊的函数，它的特殊性在于定义域发生了变化，于是，它的图像与性质也发生了相应的变化.然而，在数列教学中，我们发现学生往往看不透这些变化，出现了一些障碍.本文就这个问题展开讨论并提出对策.

障碍一、对数列的有关概念认识不到位

对数列的有关概念认识不到位，主要表现在对等差、等比数列的概念及等差中项或等比中项的定义的理解上.比如，对于等差数列来说，忽视常数数列，误认为an=kn+b（k≠0，n∈N*）才是等差数列的通项形式；而对等比数列则往往忽视公比q≠0 和q=1，缺乏分类讨论意识.对于等比中项也是认识模糊，例如，如果问他们，4和9的等比中项是多少，他们会毫不迟疑的回答是±6，而当问他们等比数列{an}中a5与a7的等比中项是多少时，他们也会毫不迟疑的回答是a6，却不会告诉你是±a6，其根本原因就是没有真正领会等比中项这个概念的含义.又如：

例1“b2=ac”是“a，b，c 成等比数列”的（ ）.

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析：当a=b=c=0 时，满足条件b2=ac，但它们不能构成等比数列；当a，b，c 构成等比数列时，有b2=ac.因此“b2=ac”是“a，b，c 成等比数列”的必要不充分条件.所以本题答案选B.

点评：本题是等比数列概念题，考查了等比数列的概念和充分必要条件的判定两个知识点.而学生出错的主要原因是对等比数列概念模糊、思考不严密，忽略了等比数列定义中的公比q≠0，即等比数列的任一项都是非零值.在这一问题中，还需特别注意b2=ac 与是非等价的.

对策：学生对数列概念认识模糊的主要原因是没有关注这些概念的内涵与外延，这就要求教师在新授课时“先入为主”，反复强调理解有关概念上的注意点，通过举反例的方法纠正学生的认识，也可以类比初中数学中的某些概念加深对数列概念的认识.例如，笔者在对等比中项这个概念与初中学的平方根作了相同与相异的类比，学生恍然大悟.

障碍二、对数列的有关运算掌握不够

在数列问题中，常常出现求数列某一项am、基本量（a1，n，d，q）、通项公式an及前n 项和Sn等计算问题.在计算过程中，整体代换意识薄弱，不能合理运用有关公式进行恒等变形，是学生运算能力不够的主要表现.例如，用数列的有关公式和性质求解一些基本量的问题时用错公式或运算错误；再如，对等比数列前n项和Sn公式的结构特征认识不透，不能从整体的意识去分析和思考问题等.比如，计算中有时把作为整体，将会使运算更加简便.

例2等比数列{an}的前n 项和为Sn，且S3+S6=2S9，求公比q.

解析：假设q=1，则S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1，所以9a1≠2×9a1.

事实上，因为a1≠0，所以9a1≠2×9a1，因此q≠1.这样由S3+S6=2S9，可得

又q≠0，所以2q6-q3-1=0，则（2q3+1）（q3-1）=0.

因为q≠1，所以2q3+1=0，解得.

点评：在利用等比数列前n项和公式解决问题时，学生易忽略q=1 的情形，事实上，在等比数列求和时要注意讨论公比q=1 和q≠1 两种情况，此外，当q≠1 时，，有时要把作为整体进行运算.

对策：教师应引导学生熟记等差、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想列出关于首项与公差（公比）的方程，解出首项与公差（公比）.当然在问题解决中，巧用等差、等比数列的性质可以简化计算，提高学生的运算能力.

障碍三、对问题的转化不等价

在数学解题中，常常要运用化归与转化思想将问题进行转化，数列问题也不例外.在数列解题中学生存在的主要问题：一是审题不到位，导致解题中设元不合理；二是转化意识不强，没能将已知条件进行恰当的转化，没能将非等差数列、非等比数列转化为等差数列、等比数列加以解决.

例3已知一个等比数列{an}的前四项之积为，第二、三项的和为，求这个等比数列的公比.

解析：设四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a4q6=，且aq+aq2=.所以（1+q）4=64q2，当q＞0 时，可得q2-6q+1=0，解得；当q＜0 时，可得q2+10q+1=0，解得

点评：在解决这个问题时，学生容易忽略了等比数列的公比可能为负数的情况，问题转化出现错误，将这四个数设为，，aq，aq3，则有解得q=或，故原数列的公比为或.这样解法错误原因在于将这四个数设为，aq，aq3之后，其公比q2＞0，各项一定同号.

对策：在数列教学中，教师应着力培养学生思维的严谨性.尤其是对于等比数列，应强调数列中的每一项的前后两项都是同号的，在求解等比数列问题时，要有检验意识.有时为了计算方便，有意识地把各项设成对称形式，但往往会顾此失彼，要杜绝这种错误的发生，事后检验不可少.

障碍四、对数列项数的确定不准确

数列是一种特殊的函数，特殊之处在于它的定义域是正整数集或其子集，因此解题中重视项数n 的取值范围是非常重要的.在这方面，学生除了在解答等差数列、等比数列有关问题时易漏掉n=1 时的情况，还突出表现在以下两处：一是用错位相减法求数列前n项和时，考生对中间环节两式相减后构成等比数列是n 项或n-1项时常出现错误；二是数列应用题问题，比如个人储蓄问题、养老保险问题、分期付款问题等一系列综合应用问题，将它们转化为特殊数列时项数也会经常出错.

例4已知数列{an}的通项公式为an=2n.

（1）若数列{bn}满足求数列{bn}的通项公式；

解析：（1）bn=2（3n+1）（n∈N*）.（过程略）

则Tn=c1+c2+…+cn=（1·3+2·32+3·33+…+n·3n）+（1+2+3+…+n）.

令Pn=1·3+2·32+3·33+…+n·3n，

则3·Pn=1·32+2·33+3·34+…+（n-1）·3n+n·3n+1.

两式相减得-2Pn=3+32+33+…+3n-n·3n+1，

即-2Pn=，所以

点评：本题主要考查利用递推关系式求数列的通项公式和利用错位相减法对数列求和.而对于这类问题学生容易出错的有两处，一是在求数列通项公式时缺乏对数列首项的检验意识；二是在利用错位相减法求和转化为等比数列后，对这个等比数列的项数的计数有误.于是，这类问题看似思路明晰，学生却不能“笑到最后”.

对策：培养学生认真细致踏实的学习习惯，“宁等十分钟，不抢一秒钟”，克服解题的急躁心理，同时培养学生的检验意识，当错位相减法求和做完后，利用S2，S3的值对这个结果进行检验，确保万无一失.

当然，学生的学习不是一帆风顺的，出现错误在所难免.作为教师，在教学中不仅要关注学生的学习误区，更要研究克服学生思维障碍的对策，只有这样才能在曲折中不断提升学生的数学核心素养.