思维故事在学习进阶中精彩演绎*——以“与分段函数有关的取值范围问题”教学为例

☉江苏省宜兴市丁蜀高级中学 邵 曦

一、问题的提出

高三阶段的复习承载着两大任务：一是知识梳理，形成网络；二是拓展思维，培养能力.显然，前者是一轮复习的定位，后者是二轮复习的立意.当前的复习课中，大多数教师阶段性目标意识不明确，课堂定位有失偏颇，基本采用“先进行10～15 分钟知识梳理（以板书或课件的方式），再罗列相关题型进行例题讲解”的传统复习模式.结果往往是教师滔滔不绝，学生昏昏欲睡，学习效果堪忧.细究其因，笔者认为缘于以下三个方面：

首先，高考复习旨在形成条理化、结构化、系统化的认知体系，进而提升分析问题和解决问题的能力.传统的复习课中“知识梳理”和“例题讲解”往往呈现“两层皮”现象，缺乏前后一致、逻辑连贯的教学样态，甚至题型内部也缺乏联系，传递的知识是碎片化的，训练的能力也是低层次的.

其次，从认知心理学的视角分析，学生认知方式的差异影响学习的进程.对于复习课中知识梳理这一环节，很多教师习惯自己归纳然后让学生完成填空，这样导致学生机械记忆，被动接受，错失主动思考和积极参与的触发点，以至于在新的问题情境中捉襟见肘，无所适从.

最后，传统的“题型教学”着眼于考试题型，力求“全面撒网”，却忽视“重点捕鱼”，复习未能精准定位，学生也未能有效内化“渔鱼之道”，长此以往，不利于学生迁移应用能力的提升.

学习进阶理论旨在揭示学习者在学习某一主题过程中认知水平从简单到复杂、从粗放到精致、从低层次到高层次的演进序列，凸显思维发展的层次性和阶段性.依据理论，以学生已有的知识经验为认知起点，以有效发展学生的数学核心素养为认知终点，那么在认知起点和认知终点之间搭建助力学生思维逐步演进的“阶”是关键.如何实施呢？高三二轮复习中，微专题复习课的设计理念完全契合学习进阶理论，它聚焦具体的教情、学情、考情，立足切口小、角度新、针对性强的“专题”进行微研究，帮助学生选择思维进阶的最优路径，铺设层层递进的思维支架，建构整体化、系统化、结构化的思维网络，力求因微而准、因微而细、因微而深、因微而精.笔者以微专题“与分段函数有关的取值范围问题”教学实践为例，谈谈学习进阶演绎精彩的思维故事.

二、学习进阶视域下的认知分析

1.学生认知起点分析

学生已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等基本初等函数模型，以及含“ex、lnx”的超越函数模型，并具有独立研究这些函数性质的相关经验.

2.学生认知潜能分析

学生经历高三一轮复习后，对分段函数的整合功能有了进一步的理解，对处理分段函数问题的解题思想，如分类讨论、数形结合、转化与化归等，有了进一步的熟悉，对数学问题的提炼、变式、推广能力有了进一步的提升，但要想系统地探究分段函数的多重性质仍会有一定的困难.

3.学生认知障碍分析

学生对含有参数的分段函数需依据怎样的标准分类讨论往往比较困惑，独立探究更是困难.他们还不善于利用函数图像性质探究分段函数有关的取值范围问题，没有形成动态思维的自觉性，也没有习惯等价转化的思维方式.

4.学生认知差异分析

学生在认知经验、心理、潜能方面都存在较大的差异.认知基础薄弱的学生可能只是初步理解分段函数的概念和性质，也只能处理静态的分段函数问题.认知基础较好的学生，能熟练利用函数图像研究相关性质，能用运动的观点分析问题.一些学有余力的学生，能通过自主整理归纳和拓展训练反思发现解决分段函数范围问题的有效策略，具备挑战较难问题的勇气和能力.

5.学生认知终点分析

学生借助函数图像尝试解决“与单调性有关”、“与零点有关”、“与多元最值有关”等分段函数取值范围问题，体会数形结合的思想方法，深刻理解分段函数的本质特征；学生经历质疑、思辩、评价的过程，提高数学交流和表达的能力，感受数学的理性精神；学生通过题组化训练，形成解决问题的经验模块和策略模块，内化数学思想方法，自育数学核心素养.

三、基于微专题教学的进阶策略分析

1.支架题组，思维基点

支架题1已知函数，若函数y=f（x）的最小值为4，则实数a 的取值范围为______.（答案：［e+4，+∞））

支架题2已知函数f（x）为偶函数，当x≥0 时，f（x）=若函数y=f（x）-m 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围为______.

支架题3已知函数，若m＜n，有f（m）=f（n），则m+3n 的取值范围为______.（答案：（4，+∞））

思维层级诊断：三个小题成为本课研究内容的先行组织者，抽象出高考中分段函数考查的三类热点题型：“有关单调性”、“有关零点”、“有关多元最值”，成为后续重点内容的生长点.问题设计立足学生思维的最近发展区，应用已有的知识经验足以应对自如，处于认知发展的“舒适区”.当然，从方法论层面彰显了共性的数学思想方法——数形结合，这是核心主线，贯穿后续的学习研究，实现了思维结构从单点聚焦向多点发散的自然过渡.

进阶策略分析：首先，以“预习单”的形式让学生自主解析、独立探究、发现问题、总结规律；然后，设置“先学留言”版块，让学生写下自己的问题、内心的疑惑及发现的规律等，以期思维留痕；最后，课堂上指派学生代表展示研究成果，同伴点评，教师点拨，形成共识.通过这种板块化的设计，让学生的思维从理解模糊、缺乏逻辑向自主联系、渐变有序演进.

2.核心题组，思维升华

核心题1已知函数若函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围为______.

变式1：已知函数数列{an}满足an=f（n），n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a 的取值范围为______.（答案：（2，3））

核心题2已知函数若函数g（x）=｜f（x）｜-3x+b 有三个零点，则实数b 的取值范围为______.

变式2：已知函数若函数g（x）=f（x）-ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为______.

核心题3已知函数若f（x1）=的取值范围为______.（答案：（-1，0））

变式3：已知函数若a＜b＜c 且f（a）=f（b）=f（c），则（ab+1）c的取值范围为______.（答案：（16，64））

思维层级诊断：核心题1 旨在解决“与单调性有关的分段函数问题”，借助函数图像列出不等式，变式1 注重深化对函数和数列的本质认识，辨析连续性函数与离散型函数的图像差异，针对易错点刺激强化；核心题2旨在解决“与零点有关的分段函数问题”，让学生体验通过“分离变量或分离函数”简化作图，凸显等价转化的重要性，变式2 让学生尝试不同的转化方式，学会选择和优化；核心题3 旨在解决“与多元最值有关的分段函数问题”，立足“降维”思想，将多元问题向一元问题转化，借助函数图像，准确找到函数定义域，变式3 通过改变函数方程的结构，加强转化与化归的思维.三个核心题是对三个支架题的深化和拓展，训练学生的模式识别能力，让学生经历适度的思维“焦虑区”，在“愤悱”的状态下实现“自悟”，促进思维结构从多点发散向联想迁移有序发展；三个变式题针对三个核心题精心设计，帮助学生增强效果、巩固记忆、熟练技能，让学生感悟解题思想、逼近数学本质、形成学科素养，进而促进思维的整体化、系统化、结构化.

进阶策略分析：以“课堂活动任务单”的形式呈现三道核心题，凸显复习主题，让学生先自主作答、独立思考；通过课堂巡视，收集典型正解和错解，投影点评，让当事人谈谈解题思路和解题困惑，其他同学补充或纠正；对于三个变式题事先不呈现给学生，寻找合适的时机串讲，必要时可以引导学生自己编拟问题、合作讨论、积淀解题经验.通过这样整体的结构化设计，让学生的思维从多点发散向关联整合逐步进阶.

3.课堂留白，思维拓展

问题1：你能谈谈这节课我们研究了哪些有关分段函数的热点问题？

问题2：解决这些问题需要应用哪些思想方法？有没有类似的解题经历？

问题3：回忆一下，分段函数取值范围问题还涉及其他哪些热点方向？

问题4：请结合本课的研究内容及尚未研究的热点问题撰写一篇数学小论文，期待进一步交流.

思维层级诊断：通过以开放性、探究性、任务性立意的问题串，打开学生的思维空间，让学生从思维的“焦虑区”跃迁至思维的“挑战区”，认知结构从关联结构进阶为抽象拓展结构，从而使高阶思维能力得以有效提高.

进阶策略分析：建构问题链，导通思维链，引导学生用联系的观点发现问题、分析问题、解决问题，形成前后一致、逻辑连贯的思维体系，并让数学小论文成为思维可视化的有效载体，最终促进数学核心素养的长期有效发展.

四、教学启示

1.“题组化”引领高阶思维

高三二轮复习中，以“支架题组化、例题题组化、变式题组化、拓展题组化”组织微专题教学，能精准定位教学目标，有效促进深度学习.微专题“与分段函数有关的取值范围问题”涉及的题型较多，精选三类典型问题“单调性、零点、多元最值”进行研究，有助于以点带面，凸显重点.题组化的组织形式旨在提升学生的思维能力，促进学生的分析问题和解决问题的能力，通过设计一组或多组具有典型代表性的题目作为思维载体，每组中呈现同题多变、同题多解、同题多法、同法多题等变式方法，帮助学生习得有价值的知识和内化可迁移的数学能力和数学思想方法，从而让高阶思维自然生成.

2.主体参与，师生共育

微专题应基于高考的热点问题和学生的认知基础立意，教学过程中教师要关注学生的疑点和错点重点辨析，注重质疑和思辨能力的培养，串讲方法，积淀经验，构建网络.为了防止出现师生思维落差而造成教与学脱节，可以让学生自主建构，展示成果，相互点评，辩论纠错，自拟变式，联想拓展，撰文反思等，教师通过课堂观察，及时调整教学环节，建构精准的思维逻辑，与学生思维和谐共振.这样，师生共育的思维场一定可以实现学生关键能力和教师专业素养发展的相互成全.