从学生错解出发：同类题教学的一种策略——以被开方式非负性质的同类题教学为例

☉江苏省常熟市古里中学 朱秀娟

整理最近一周的教学手记，其中有一节试卷选讲的课仍然值得回味，因为没有按照常规的由易到难的顺序讲评几道同类问题，而是“逆向操作”，由难到易，先是学生出错、思维受阻，然后师生参与究错，回看试卷上另外几道考题，从中获得启发，解读出隐含条件，再回看难题，获得思路的贯通.本文整理该课的“缘起”“学程”与课后反思，供研讨.

一、由一份检测卷的批阅说起

最近组织二次根式章末检测时，试卷中有以下几道考题，学生的答题情况各不相同，这里先简要做一梳理：

题1：若m=，求代数式2m+n的值.

批阅情况：学生正确率较高，试题难度系数为0.75，说明对二次根式的意义（被开方式为非负式）有较好的掌握.

题2：已知实数a满足，求代数式a-20192的值.

批阅情况：阅卷数据表明该题难度系数为0.55，说明不少学生对隐含条件（被开方式a-2020为非负数）的解读与运用已出现差异，导致不能顺利化简，说明需要重点讲评.

题3：一个数的算术平方根是2m-6，它的平方根为±（m-2），求这个数.

批阅情况：这道习题多数学生的解答是分类讨类，或者没有做到最终结果.

题4：已知实数n满足，求n的值.

批阅情况：这道考题只有一名学生做出答案，多数学生都空着或猜了一个解，导致错误.需要认真预设如何讲评这道考题，促进更多的学生理解这道习题的解法.

二、讲评课前的备课预设

如果将上述4道考题按照由易到难的顺序组织讲评，当然也能顺利进行，并且让学生拾级而上，听懂并理解题3、题4的解题思路，但是笔者经过思考，认为这样并不能让学生留下深刻的讲评印象，所以准备“反其道而行之”，先出示最难的题4，安排学生上台展示“解题愚蠢”或错误解法，然后现场诊评并究错，再通过先后给出具有铺垫功能的题2、题3、题1，让学生深刻理解这类需要解读隐含条件的较难题.

三、课堂讲评记录

开课过渡：在这份检测试卷中，大家认为最难的是哪一道题？（生：题4）全班只有一个同学做对了，我问过，他说是猜想到的答案，自己也不知道如何求解.那么，我们请科代表来展示一下他是如何思考的，因为我注意到他写满了答题区域，但是“无功而返”.让我们来看看他是怎么做的.

科代表上台讲解他的思路，简述如下：

解：将等式两边平方，得（2-n）2+n-5=n2，即4-4n+n2+n-5=n2，化简得3n=-1，则n=-.

师：请大家观察他的解法，你们看得懂吗？

生2：他的第一步两边平方就出错了，等式左边不可能是（2-n）2+n-5，根据完全平方式展开，左边应该是，所以后面全部是错误的.

师：正确！你看出n的取值范围了吗？

生3：n≥5.

师：获得这个取值范围后，你对解答这道难题有什么进展吗？

生3表示仍然没有进展.

师：那好，我们先来看这份试卷中的“题2”.

题2：已知实数a满足，求代数式a-20192的值.

师：这道考题有三分之一的同学做出来了（生3没有做出来），请一个同学来展示一下他的解法.

师：很好，请生3思考一下，这种思路对于求解“题4”有没有启发？

师：正确！可以发现，这里解读出隐含条件，即被开方式具有非负性质，就能打开这类根式难题的解题思路了.大家再到这份试卷中找一下，还有需要解读被开方式的非负性质的考题吗？

很快，学生找出了“题3”和“题1”.

题1 错误率不高，请学生简要讲解一下思路，确认其关键步骤是根据非负性质解读出n的值.

对于题3，先安排学生上台写出一种典型错漏解法：

解：由题意得：2m-6=m-2，或2m-6+（m-2）=0.

引导其他学生参与评析，大家发现上述步骤中有多处错误，比如，分类讨论求出m的值之后直接代入2m-6求出了这个数的算术平方根，就直接答这个数，对题目的求解目标没有辨清（需要求出原数）；再如，求出这个数的算术平方根为时，缺少检验意识，因为算术平方根是非负数，这个值应该被舍去，仍然是由于忽略隐含条件出错，没有取舍的意识.

小结与布置作业：同学们可以将这份试卷中的4道涉及被开方式非负性质的考题作为同类考题收集起来，以便加深对被开方式非负性的理解.

四、进一步的思考

1.解题教学是艺术，通过解题学会解题

我们知道，教学是科学也是艺术，解题教学亦然.常规来看，习题讲评一般都是由浅及深、由易到难的讲评顺序，这样能起到较好的铺垫式作用，帮助学生拾级而上，化解难点，层层递进.然而，我们根据这节课所讲习题中几道考题的深层结构或本质特征，选择了由学生先展示它们的“解题愚蠢”（罗增儒教授语），然后引导学生参与评析与优化，通过链接、关联不同考题，促进学生自主发现思路，突破关键步骤，不仅实现了这道较难题的讲评，而且整个过程也向学生传递了“怎样解题”的方法或策略.

2.重视解题后反思，引导学生归类整理

美国著名数学教育家波利亚在名著《怎样解题》中强调解题后的回顾反思的重要性，认为其是防止“入宝山而空返”的有效方式，值得我们在解题教学中向学生传递.具体来说，我们在4道同类考题讲评之后，简要小结并布置作业，安排学生对4道考题及思路中的关键步骤进行归类整理，通过课后归类整理这个环节有效促进学生解后回顾与反思，拉长对这类问题的深刻理解的时间.同时是向学生传递解题学习的有效方法，不但善于突破较难题的思路，还要在解后反思时勤于整理同类问题.

3.教学即研究，“往小处看、做手头事”

教学即研究，做一名研究型教师是很多在专业上有追求、上进的教师的共同追求.然而，有些教师苦于找不到研究方向，今年申报这个课题，过几年又扔了这个课题，蹭着热点走，到头来该关注的“教学基本问题”（教什么，怎么教）没有能深入下去，宏大的课题又做不出什么新意，自己也很苦恼.对于广大一线教师来说，如果能看清自己所处的学校环境、针对学情和教情，立足现实，“往小处看、做手头事”，做深做透，积累素材，及时梳理成文，也是一种值得提倡的研究路径.本文就是关注一节日常习题讲评课的教法研究，当然还不深入，案例也不丰富，期待更多的同行参与研究、丰富案例和反思深入.