反作用轮主被动隔振器的复合控制研究*

2019-01-22李林峰张激扬罗睿智

空间控制技术与应用 2018年6期

李林峰，张激扬，罗睿智

0 引言

反作用轮是控制航天器姿态稳定与机动的重要执行机构.由其内部转子动、静不平衡量等引起的微振动力，传递至航天器本体后，会对高精度光学载荷的工作产生不利影响.通过额外布置隔振器，可以在宽频范围内降低反作用轮产生的扰振力[1]. 从有无闭环控制角度看，被动隔振器不加闭环控制；主动隔振器完全依赖闭环控制而未配置弹簧、阻尼，失效风险大；因此，结合二者优势的主-被动混合隔振器[2-3]获得了广泛的应用.从隔振器构型设计看，由于经典的六支腿Stewart构型[4]体积、质量大，随着对隔振设计轻量化、小型化需求的增加，近些年，低于六自由度的并联构型隔振器[5]吸引了研究者们的关注.堆型压电执行器(piezoelectric stack actuator，PSA)响应快、体积小、能量密度大，是一种常用的作动器，但其存在的迟滞非线性会影响主动隔振性能.

根据扰动的特点，研究者们设计了不同原理的主动隔振控制器.例如，文献[6]设计了多频率、自适应的陷波器，以抑制磁盘驱动器的共振模态的峰值.针对未知、时变的窄频扰动力[7]，文献[8]设计了基于扰动观测器和内模原理的反馈控制器，但由于高度依赖扰动模型，在频率相近的多频扰动作用下，控制效果不甚理想.考虑到建模、求解的复杂性，在多输入多输出主动隔振系统中应用H∞控制器具有一定优势.文献[9]利用H2/H∞混合控制的方法，改进了控制器降阶后隔振性能和鲁棒稳定性下降的问题. 此外，相比于回路成形、μ综合等其他H∞控制器，模型匹配的H∞控制器可以在设计阶段，直接配置闭环系统的阻尼，同时具有阶次相对低、运算实时性好等优点[10].

1 系统描述

针对某型50N·m·s大力矩反作用轮，设计了一款基于PSA的三自由度主-被动隔振器，体积和重量上均具有优势.如图1所示，隔振器采用四支腿构型，包括3个相互正交的斜支腿和一个竖直支腿. 竖直支腿由蝶形锥弹簧构成，额外提供竖直方向的刚度. 每个斜支腿中布置有一个PSA，提供主动力；弹簧阻尼模块由蝶形锥弹簧、金属橡胶组成，并与PSA串联，提供被动隔振的弹性与阻尼；支承轴套起连接与固定作用，并保护PSA不受切向力或力矩. 在使用时，隔振器上平台与反作用轮刚性连接，下平台与航天器的舱壁相连.

主动隔振的设计目标为：时域上，将被动隔振的输出进一步降低20%；频域上，设定控制带宽200 Hz，增加系统阻尼，削减被动隔振特征频率处，三方向加速度传递率的峰值.由此，本研究设计了内、外两环构成的复合控制系统，如图2所示. 内环控制利用粘于PSA表面的桥式应变传感器(strain gauge sensor，SGS)，反馈其轴向位移，功能是补偿PSA迟滞引起的稳态误差；而外环控制直接反馈隔振器下平台的三轴加速度信号，实现主动隔振.

对于内环(位移环)控制，为了降低其影响外环带宽的可能，本研究采用了PI控制器，其优点是结构简单、待调参数少、带宽配置方便等. 对于外环(加速度环)控制，本研究采用了静态解耦器和模型匹配H∞控制器串行的方案. 在进行控制设计前，作两点假设：

假设1.设下平台加速度输出a=[axayaz]T，主动力单独作用的加速度输出ac=[acxacyacz]T，扰动力单独作用的加速度输出ad=[adxadyadz]T，三者的关系满足：a=ac+ad.即：主动力控制通路与扰动力传递通路二者独立，且下平台加速度是两个通路输出的线性叠加.

假设2.设PSA轴向输出位移为δi(i=1,2,3)，此处假定由ad到δi的传递为零，即外环扰动对内环反馈无影响. 实际上，PSA的刚度系数相当大，约为2.5×107N/m，上述传递可忽略不计.

图1 隔振器结构元件示意图Fig.1 Structural composition of the target isolator

图2 复合控制系统的结构示意图Fig.2 Architecture of the composite control system

2 内环控制的分析与设计

2.1 单斜支腿的动力学模型

沿斜支腿轴向，我们首先建立了它的动力学模型，原理图如图3所示.忽略重力的作用，写出相应的动力学方程：

式(1)中各变量的含义如表1所示.简便起见暂略去脚标i，压电堆净伸长δ为

δ=x0-x1-L

(2)

式中，L为压电堆静长度(m).接着，压电堆净输出力fex可通过静伸长δ、输入电压V、非线性迟滞量h确定

fex=kp(gV+h-δ)

(3)

式中g表示控制电压系数

g=AYd33N/(kpL)

(4)

其中：A为压电堆截面积(m2)、Y为零电场时弹性模量(N/m2)、d33为压电充电常数(C/N)、为压电堆层数.利用Bouc-Wen模型[11]描述非线性迟滞量h：

(5)

对于压电堆执行器一般取n=1，进而迟滞的幅值与形状可完全由3个比例系数α,β,γ表征.

图3 单斜支腿动力学原理图Fig.3 Body diagram of each oblique leg

表1 单支腿动力学方程变量及其含义Tab.1 Parameters and their corresponding physical sense in dynamic equations of each oblique leg

变量含义mrw/kg反作用轮质量m/kg单支腿运动部分等效质量M/kg下平台固联刚体质量x0/x1/x2/m压电堆上端位移/压电堆下端位移/下平台固联刚体位移fex/fdis/N压电堆净输出推力/反作用轮运行扰动力kp/k/(N/m)压电堆本体刚度/支腿串联刚度c/(N/m)支腿串联阻尼

2.2 闭环分析与验证

式(1)～(5)描述了单支腿的开环动力学，对PSA施加PI控制

(6)

式中,Kamp为电压放大器增益，KP和KI分别为比例和积分增益，ui为参考输入，Ksgs为位移传感器放大系数.由于PSA仅能承受正向电压，其输入电压可通过单极性的饱和函数表示：

(7)

综合式(1)～(7)，得到内环系统的完整闭环解析模型.

为了验证PI控制器的闭环控制效果，在采样频率Fs=2 kHz的条件下，设计了两组实验. 第一组实验输入阶梯信号和低频扫频信号至单个PSA，幅值0～12 μm；第二组实验输入混合频率的高频正弦信号(18 Hz/38 Hz/138 Hz)至PSA，幅值0～15 μm；设定PI控制器增益为KP=6，KI=7.1×103，分别记录开、闭环情况下的PSA轴向输出位移，结果如图4所示.

图4 单个PSA开、闭环跟踪效果对比图(上：阶梯与扫频；下：动态)Fig.4 Results comparison between open-loop & closed-loop PSA tracking of steps and dynamic signals

由结果可知：a)输入阶梯信号时，开环跟踪存在由迟滞引起的稳态误差，且随阶跃幅度的增大而增大(最大约1.5 μm)；闭环跟踪可以有效补偿该误差. b)输入动态信号时，开环跟踪同样存在滞后与误差，体现在输出峰-峰值的折损(约17%)，并且该误差在指令下降时大于指令上升(这是由于压电堆卸荷过程比充电过程的时间更长)；闭环后该误差被有效补偿.

综上，如果不引入内环控制，PSA在跟踪外环指令时将损失部分动态位移，进而不能输出足量的控制力. 值得注意的是，尽管 PI控制有效补偿了峰-峰值误差，但输出仍与指令存在约1.5 ms的时延.

3 外环控制的分析与设计

外环控制由解耦器和H∞控制器两部分串联.其中，解耦器的功能是分配控制增益，由隔振器的几何特征进行计算得到.在H∞控制器的设计中，将利用辨识得到的系统模型，通过增广输入输出、定义理想模型，将控制器的设计问题转化成一般的求解次最优∞范数问题，再经过求解、降阶、离散化，最终得到满足指标要求的控制器.

3.1 解耦器的设计

为了对控制量进行合理的比例分配，需要根据隔振器的几何形状，设计一个解耦器.首先定义两组坐标系.设与第i个支腿固联的本体坐标系{Oi-xiyizi}，原点Oi位于PSA质心，Oi-zi沿支腿轴向向上，Oi-xi在支腿轴向纵剖面内，垂直支腿轴线向下，Oi-yi由右手定则确定；设下平台固联坐标系{Ob-xbybzb}，原点Ob位于下平台中心，三坐标轴方向的定义与输出加速度的3个方向一致.定义Oi-zi与竖直方向的夹角为φ，O2-x2在水平面的投影与Ob-xb的夹角为θ.

考虑第i个PSA作动时，将仅沿Oi-zi方向产生某个力，假想此力不加衰减地传递到{Ob-xbybzb}3轴，该过程输入输出之间的传递可由一个3×3的传递矩阵T表征

(8)

接着，解耦器DS设计为该传递矩阵的逆：

DS=T-1(φ,θ)

(9)

3.2 H∞控制器的设计

3.2.1 模型描述与辨识

首先，考虑外环被控对象的输入输出：将PSA控制输入，定义为外环控制的输入u=[u1u2u3]T;隔振器上平台的三轴加速度作为扰动输入d=[aupxaupyaupz]T;定义隔振器下平台的3轴加速度为输出y=[axayaz]T.接着，外环被控对象可以被划分为两个传递路径，即控制通路和扰动通路，传递函数矩阵分别记为Gu和Gd. 扰动通路Gd表征了隔振器的被动隔振特性；控制通路Gu由3个3×3的传递函数矩阵串联

Gu=DSGpztGx2a

(10)

式中,DS为解耦器，Gpzt为PSA闭环动力学传递函数矩阵，Gx2a为PSA轴向位移到y的传递函数矩阵. 综上，结合假设1，被控对象的模型可由图5描述. 求解反馈控制器K3×3是下一步的设计目标.

此处，我们直接利用系统辨识的方法获得Gd与Gu的模型. 设定采样频率为2 kHz，对于扰动通路，输入上平台一个宽频扰动信号，收集上、下平台的3轴加速度数据；对于控制通路，分别独立向3个支腿输入10～200 Hz、全行程的扫频信号，下平台加速度作为输出；接着，经过10～200 Hz带通滤波后，使用N4sid子空间辨识算法对两组输入输出数据进行求解，并利用平衡截断方法对模型降阶. 最终结果如表2所示，Gd和Gu均分别由6阶的连续状态空间模型(Ad,Bd,Cd,Dd)和(Au,Bu,Cu,Du)给出，传递函数和对应矩阵之间的具体关系为：

(11)

图5 外环被控对象描述模型Fig.5 Model description of outer loop plant

3.2.2 问题形成与求解

为了求解反馈控制器K3×3，在前一小节定义的描述模型的基础上，进一步引入测量噪声n、性能输出z和理想模型M，得到增广后的闭环控制系统，如图6所示.各环节的具体含义为：G的定义同图5虚线框内的部分，是系统的开环被控对象；M为满足性能指标的理想系统，也是闭环控制系统的匹配目标，是待设计环节之一；r是参考输入，其引出的两路之一直接输入给理想系统M，另一路与实际系统的输出y作差输入至反馈控制器K;Wn、Wp、Wu分别是对单位有界噪声n、匹配误差e1和控制量u传递的加权矩阵，也是3个待设计环节. 定义广义外部输入w=[rdn]T和性能输出z=[z1z2]T，则闭环控制下二者之间的传递为

(12)

式中:So=(I+GK)-1，Si=(I+KG)-1分别为输出、输入灵敏度传递矩阵. 至此，问题形成为一般的H∞控制设计问题：首先确定理想系统M和加权矩阵Wn、Wp、Wu，接着求解镇定的反馈控制器K，使(12)式中传递函数矩阵的‖·‖∞范数最小化.

表2 扰动通路和控制通路的模型参数Tab.2 Model parameters of disturbance and control transmission path

图6 增广后的闭环系统示意图Fig.6 Block diagram of extended closed-loop system

(13)

M的模态特征值、频率和阻尼比，如表3所示.

其次，考虑加权矩阵的设计.由于对称性，Wn、Wp、Wu均设计为对角元素相同的3维对角矩阵，分别定义它们的对角元素为wn、wp、wu.上述对角元素须满足稳定、最小相位：

(14)

(15)

(16)

它们各自的频域特性曲线对比如图7所示由于加速度计的测量噪声随信号频率增加而增大，wn设计为高通滤波器：低频段噪声弱，滤波器幅值低，对测量噪声的加权权值较低；高频段噪声强，滤波器幅值高，加权值高.而wp和wu二者相关，分别设计为低通和高通滤波器：在闭环控制的设定带宽200 Hz范围内，低频段匹配理想模型的需求明显，因此wp幅值较大；随着频率的增加，PSA的动态输出能力有所衰减，此段应尽量满足能量最优，wu幅值增大而wp幅值降低，有利于节省控制能量消耗.

表3 理想模型M的特征值、频率和阻尼比Tab.3 Eigenvalues, frequencies and damping ratio of matching model

图7 3个加权矩阵对角元素的频域特性对比Fig.7 Comparison on frequency characteristic of three weighting matrices’ diagonal elements

再次，利用求解双Riccati方程的经典算法[12]，计算得到24阶的次最优H∞控制控制器；接着，再次利用平衡截断方法对结果进行降阶，控制器被简化为6阶；设定采样频率为2 kHz，经过双线性变换离散化，最终得到的控制器为

(17)

其中K(z)的分子、分母的具体表达式如表4所示.

表4 控制器K(z)的分母分子表达式Tab.4 Expression of controller K(z)’s denominator and nominators

4 实验验证

为了验证复合控制的效果，我们搭建了综合测试平台.平台由振动控制系统、反作用轮及其驱动组件、微振动测试台组成，其实物图如图8所示.振动控制系统的底层包括了传感器、执行器、信号处理器、放大器、I/O板卡、处理器和上位机PC，它们的具体型号和连接关系如图9所示.其中，信号调理仪为加速度计提供恒流源，并对输出电压提供滤波与放大；毫伏放大器放大SGS毫伏级的输出电压至伏级；电压放大器将0～10 V的控制电压放大至0～100 V，用以驱动PSA.上位机提供MATLAB SIMULINK开发环境，利用PXI-8840处理器和实时仿真模块，实现实时控制. 反作用轮的驱动方式为闭环直流驱动，可以精确控制轮体转速.微振动测试台用以隔离由地基传递的振动.

1)反作用轮稳速工况下的控制效果.

设定反作用轮稳定在1 500 r/min和3 000 r/min两个转速，分别记录开环和闭环情况下的加速度输出，结果对比的时域曲线分别如图10和图11所示.由于传感器两通道的动态特性不完全一致，结果示出的x、y方向加速度并不对称，但闭环结果相比于开环结果均有不同程度的衰减：a)1 500 r/min情况下，3轴输出加速度的时域均方误差值(RMS)，由开环时的{2.71×10-2，1.97×10-2，6.88×10-3}m/s2，降低至{1.91×10-2，1.31×10-2，5.72×10-3}m/s2，衰减率为{29.5%, 33.5%, 16.9%}；b)3 000 r/min情况下，3轴输出加速度的RMS由开环时的{1.74×10-2，2.21×10-2，6.41×10-3}m/s2，降低至{1.31×10-2，1.65×10-2，3.81×10-3}m/s2，衰减率为{24.7%, 25.3%, 43.7%}.因此，上述两个转速情况的结果基本满足时域设计目标要求.

图8 综合测试平台实物图Fig.8 Photograph of the overall test bench

图9 振动控制系统的硬件、软件连接关系Fig.9 Implementation and inter-connection of the vibration control system’s hardware and software

图10 反作用轮稳速工作在1 500 r/min时，开、闭环输出加速度时域曲线对比Fig.10 Comparison of open-loop & closed-loop time-domain output accelerations during RWA’s working at 1 500 r/min

图11 反作用轮稳速工作在3 000 r/min时，开、闭环输出加速度时域曲线对比Fig.11 Comparison of open-loop & closed-loop time-domain output accelerations during RWA’s working at 3 000 r/min

实际上，从扰动传递来源考虑，反作用运行产生的微振动力，绝大部分来源于转子的不平衡，并与转速成正比[13]. 依此理论，1 500 r/min和3 000 r/min稳速工况下，扰动力幅值最大的频率分别是25 Hz和50 Hz；由于这两个频率高度接近理想模型M的特征频率(表3)，受闭环阻尼比升高的影响，复合控制器施加的控制量显著，进而主动隔振效果最佳，验证结果与设计初衷相一致.

2)转反作用轮转速变化情况下的主动隔振控制效果

将反作用轮由1 500 r/min稳定升速至2 500 r/m(升速速率设定为340 r/min).由于记录时间较长，这里以频域的能量谱密度(PSD)为考察指标，分别在开、闭环情况下，记录全过程3方向加速度输出，绘制其PSD曲线，结果对比如图12所示；选取局部峰值点，记录幅值及相应频率，结果对比如表5所示.结果表明，相比于开环情况，在复合控制的作用下，仅ay位于55 Hz和111 Hz处的峰值有微小抬升，其余各方向加速度输出的PSD峰值均有不同程度(7.9%至29.2%)降低；此外，ax、ay、az能量密度最高的分量(均位于26 Hz附近)全部得到有效衰减，分别降低了17.4%、21.1%和11.2%，再次证明了复合控制下主动隔振的有效性.

图12 反作用轮由1 500 r/min到2 500 r/min升速全过程，开、闭环输出加速度的能量谱密度图Fig.12 Power spectral density (open-loop & closed-loop) of output accelerations during RWA’s whole accelerating process from 1 500 r/min to 2 500 r/min

5 结论

围绕一款基于压电堆的主被动反作用轮隔振器，以被动隔振为基准，本文提出了一种内、外环结合的复合控制主动隔振方案.首先，为了消除压电堆迟滞非线性引起的输出位移误差，设计了PI内环控制器，占全行程17%的峰-峰值折损得到有效补偿.接着，设计了一个由解耦器与模型匹配H∞控制器串联而成的输出反馈外环控制器.最后，以反作用轮稳速、升速两种工况为例，通过实验验证了复合控制的有效性. 结果表明，稳速工况下，转速位于1 500 r/min和3 000 r/min时主动隔振效果最显著，扰动输出进一步衰减约20%；升速工况下，三向加速度输出能量密度最大的分量，分别衰减17.4%、21.1%和11.2%.