数学游戏幻三角的启发式思路分析

王姿婷 李建华

(1.海南盐湾未来领导力学校 572400;2.北京师范大学数学科学学院 100875)

数学游戏在数学教育中的应用，取决于对数学游戏中的数学内容及其方法的分析.幻三角的规则与经典的数学游戏幻方相类似，只不过形状上由正方形变成了三角形(如图1)，幻三角要求将给定的数字填入所给方格使得各向的边上数字之和一致.它其实是幻方的一种变式游戏，当然，除了变成三角形还可以变成星形、正多边形等其他具有一定规则性的图形，而单纯从幻三角这一种变形上看，又可以通过设定每边数字个数来不断获得新的变式，我们用启发式的思路对每边含有三个数字的幻三角从初步认识到性质推理进行一些数学讨论，这些讨论将对以幻三角为载体的数学课堂教学设计提供重要参考.

图1

启发式思路之一：幻和的最值

在讨论幻三角的构造前，我们必须先给定可以用于填入这六个格的数字范围，可以是1至6、1至7等等，问题的开始，我们可以从最简单的情况入手，即从数字使用范围为1至6这六个数字这种情况开始分析.

由幻三角的定义，我们容易想到，要想解决这个问题，绕不开的一个重要问题就是：每条边的和是多少？我们不妨将这个数称为“幻和”.

若大家接触过三阶幻方(九宫格)，会发现三阶幻方中的幻和很容易求出，因为将三行(或者三列)一起看，会发现它们刚好可以将三阶幻方所需数字1～9包含且仅包含一次，更重要的是，它还天然地等分出三个区域，每一行三数之和即为幻和，于是三阶幻方的幻和呼之欲出——(1+2+…+9)÷3=15.与三阶幻方不同的是，在幻三角中我们没办法找到不重不漏地将六个数字囊括进若干个幻和中，那么幻三角的幻和如何确定呢？

虽然目前我们还不清楚具体幻和为多少，但我们还是可以很有把握的说，1不可能是幻和，2也不可能，或者说，至少都需要从6开始往上去分析，当然这个幻和也绝对超不过4+5+6，但6和15这个区间划分的依旧太大，因此，在分析幻三角的幻和所有具体的可能值之前，很自然地，我们必须先要考虑幻和的最值，这可以为我们避免一些无用功.

注意到若按照幻三角的六个位置所处的连线数目进行划分，很快就可以按照边角特点划分成自然的两类：三个角上的数会有两条连线经过，而三个边格数则只会经过其所在的那一条连线，我们不妨将若干连线一同考虑，再看看哪些位置的数字重复使用了.

当三条线全部用上，我们可以知道，这样会把六个数字都含了进去，并且三个角的数字会重复使用，于是我们可以知道，当幻和为m，三个角上的数字分别为a,b,c时，就有3m=(1+2+…+6)+a+b+c.很明显，幻和直接可随a,b,c的确定而被确定.a,b,c不同，幻和也可能发生改变，这与三阶幻方的幻和唯一就有很大区别，幻三角的幻和会是一个区间内的正整数.

我们回到幻和的最值问题的讨论上来，上面的式子其实就已经给了我们很好的提示，幻和要想最小，a,b,c三数之和必须是最小的搭配，类似的，幻和的最大值也应通过令a,b,c达到最大搭配求得.也就是说：

这样我们就将幻和的取值范围给明确下来了，值得一提的是，这种基于结构特征得到的方法还可以在幻三角的进一步变式中使用.下一步，我们只需要在9，10，11，12中明确具体幻和以及对应的幻三角形即可.

启发式思路之二：幻三角的构造

知道幻和可能的取值后，我们便可以进入到幻三角构造的工作中.

现在已知两个入手点：一个是幻和，一个是角上的三个数a,b,c，当然，这两个入手点是彼此制约而非独立的.首先，我们从幻和为9的情况入手，在这样的情况下，必有a+b+c=6，于是a,b,c只能够对应(1,2,3)这三数，由此，我们便可以在填入角的数值后再依据幻和将剩余的三个位置值求出，见图2.

图2

下面，我们试试幻和为10的幻三角，要想幻和为10，a,b,c三数的和需要为9，而这样的三数组合可以为(1,2,6)、(1,3,5)或者(2,3,4)，那么，幻和为10的幻三角是否有多个呢？我们同样依据角数及幻和构造试试看(见图3).

图3

可以看到，图3中，左图里面1与2共边的那条边上还缺7，而右图中3，4共边的那条边上缺的是3，而3已经使用过，因此以(1,2,6)、(2,3,4)作为角上的三数无法构造出幻三角，唯独(1,3,5)可以.这也就是说，幻和为10的幻三角也只有一个.

类似的，我们继续分析幻和为11的情形，这种情形下，a,b,c三数之和需为12，能够满足这个要求的三数组为(1,5,6)、(2,4,6)或(3,4,5).

图4

如图4所示，左图中5与6和已为11，无法插入任何一个数，而右图中3，5共边的那条边上缺的是3，而3已经使用过，因此以(1,5,6)、(3,4,5)作为角上的三数无法构造出幻三角，只有(2,4,6)可以.因此幻和为11的幻三角只有一种.

至于幻和为最大值12时，角上所能放置的三数只能是(4,5,6)，只要余下的另外三数可以凑出该幻三角即可，如图5.

图5

启发式思路之三：幻三角中的性质分析

其实对于幻和取值范围内的每一个数，与之对应的幻三角是否都能存在，存在的话又是否唯一这些问题都需要我们去思考，而前面的叙述使用了最直截了当的方法：直接去试，在讨论的数字范围是1至6时，这样的方式确实也不会耗费太多时间，但是当可选取的范围变为1至9挑6个填入甚至范围更大的变式幻三角时，或许直接去试就有点无头苍蝇的感觉了，因为要讨论的种类会增加很多.其实，很多情况下，开始主要问题的研究前，花一些时间找一些数学性质会给后续工作带来极大便利，往往能达到事半功倍的效果.下面我们一起看看，能不能找到一些有意思的性质.

由前面所做的工作可以知道，幻和为m，三个角上的数字分别为a,b,c时，有3m=(1+2+…+6)+a+b+c，其实，这个式子除了能够帮我们找出幻和的最值外，由这个式子我们还可以反过来得到角上三数的一个限制：由于1至6的和是21，21加上a,b,c三数后仍是3的倍数，因此a,b,c三数的和必是3的倍数，也就是说，诸如1，2，4这样的三数组合必然不可能作为幻三角的三个角上的数.我们不妨将所有可能置于角上的三数组合全部找出来：(1,2,3)(1,2,6)(1,3,5)(1,5,6)(2,3,4)(2,4,6)(3,4,5)(4,5,6).这样一分析，问题就简化了很多，当三个角的数字一确定，幻和自然地也会被确定，但是，这只能作为幻三角的角上三数的必要条件，是否最终得以确立仍需如前面一般讨论，例如(1,2,6)决定出幻和为10但是1，2同为角上的数时它们所夹边就会缺7，因此这个需要被排除，这样分析下来结果会与前述结论一致，只不过是思考方向不太相同.

另外，观察我们最后用1至6构造出的四个幻三角，它们有一个共同特点：1与6都在一条边上，这是纯属偶然的事情还是有一定的必然性呢？我们不妨回到结构中去寻找一些线索.

若1和6不共边，那么它们一定分别位于两条不同的边线上，但注意到，幻三角中的边线都是两两相交的，也就是说1和6所在的两条边会交于一个角格，不妨假设该角格填入的数字为n，那么这两条边上都已分别填入了两个数字，一条是1和n、一条是6和n，那么接下来我们就需要在1至6中找到除了这三个数之外的两个数字，使之能够分别搭配这两对数字获得两组和相等的三元数组，即1+n+x1=6+n+x2，也正是如此，我们知道x1-x2=5，然而1至6中只有1和6能够相差5，剩余的三数不可能做到，这就引发了矛盾.故1和6必须共边！值得注意的是，前面的这个分析，无论放在哪些连续的自然数数组中，都会有最大最小两个值之间的差值无法由其余数对搭配出来这样的现象，因此，这个推论在幻三角的许多变式中依然具有效力，即最大值与最小值必须共边.事实上，如果一开始就分析出这个结论，那么幻和的最值的必要条件就具备了，因为1和6必须共边，因此能够搭配的最小数就是2，此时这边三数之和为9，不可能更小，相对应地，我们可以找到幻和最大时应该是1、5、6一起搭配出的幻和12，同样也不可能找出更大的幻和了.

另外，知道了1和6必须共边外，我们还可以考虑一下这样一个问题：能否将这两个数字同时置于角格上？

注意到1和6如果同在角格上，则另一个角格无论是哪个数都将分别与1、6共边，而1和6之间差了5，有一个公共角后，无法从剩余数字中再找出间隔为5的数对了，因此，最小数不仅需要与最大数共边，它们还不能同为角格上的数！同理，也即最大数字与最小数字必须一个位于角格一个位于与这个角格相邻的边格上.

数学问题的研究过程中，新的性质的提出不一定带来新结论但是往往能够提供一些新的思维视角，而对同一问题多方面思考也恰是我们希望给学生们带来的深刻启迪.

启发式思路之四：幻三角的性质在构造中的应用

在数学问题的研究过程里面，对一个基本问题的性质分析，目的可能主要是在于，当我们再次遇到类似问题甚至是进行一些变式时，能极大的简化类似的过程.这里不妨将前面分析1至6构造幻三角过程中提及的结论进行一下梳理：

①3m=(1+2+…+6)+a+b+c；

②a,b,c三数的和必是3的倍数；

③最大数字与最小数字一个位于角格一个位于与这个角格相邻的边格上.

接下来，我们尝试着用前面分析出来的一些性质对其进阶问题进行思考：当给定的数字是由1到7，如何构造幻三角.

首先，我们要知道，总共就6个位置，那么必有一个是多余的，而为了不重复讨论，7必须要使用，否则问题就会完全变回1至6的幻三角构造问题上去了.不妨先假设舍去的那个数字是1，也就是使用2至7这6个数字来构造.

同样地，由幻和最值的计算方法，我们先计算一下幻和m7-1的取值区间：

3m7-1=(2+3+…+7)+a+b+c,

由角上的三数之和必为3的整数倍，可知角上的三个数a,b,c只能在以下组合中选择：(2,3,4)(2,3,7)(2,4,6)(2,6,7)(3,4,5)(3,5,7)(4,5,6)(5,6,7).又因为最大数字7与最小数字2必须一个位于角格一个位于与这个角格相邻的边格上，因此排除掉(2,3,7)、(2,6,7)、(3,4,5)、(4,5,6)，因为这四组数要么将2、7都放角格，要么都放边格上，因此，角格数组只能在剩下的四个中挑选构造：

图6

可以看到，角格数为(2,3,4)时确实可以构造出相应的幻三角，类似的，我们分别将角格数换成(2,4,6)、(3,5,7)和(5,6,7)并尝试构造相应的幻三角，见图7：

图7

由此我们便将使用2至7这6个数字来构造幻三角的问题完成了，总共画出了4个，且幻和各不相同，这与使用数字1至6这六个数字来构造的情形相似.

剔除2的情形：

下面，我们在1到7这七个数字中剔除2，也就是余下1，3，4，5，6，7这六个数字进行构造.而因为有3m7-2=(1+3+…+7)+a+b+c，而此时六个数字之和为26，因此最后的结果希望被3整除的话，则需要角上的三个数a,b,c之和模3余1，由此，能够作为角格数出现的数组为(1,3,6)、(1,4,5)、(1,5,7)、(3,4,6)、(3,6,7)、(4,5,7).

可以推得幻和m7-2可能的取值区间为：

与之前分析类似，数字1和7必须共边且一个是角格数一个是边格数这一约束依然成立，因此，能够作为角格数出现的数组为(1,3,6)、(1,4,5)、(3,6,7)、(4,5,7).

我们将其可能对应的幻三角写出来，分别是：

图8

从图8中可以看出(1,3,6)为角格数时，幻和应为12，而1、3所在边将缺8，构造失败，而(1,4,5)、(3,6,7)则都各有一种对应的幻三角.

剔除3的情形：

接下来我们剔除数字3，同样先计算余下6数的和：1+2+4+5+6+7=25，因此角格数a,b,c之和模3余2，因此，能够作为角格数出现的数组可能为(1,2,5)、(1,4,6)、(1,6,7)、(2,4,5)、(2,5,7)、(4,6,7)这五种，数字1和7必须共边且一个是角格数一个是边格数，因此我们排除掉(1,6,7)、(2,4,5)，对剩下的四个分别进行尝试：

(1,2,5)为角格数时，幻和应为11，而1、2所在边将缺8，构造失败，(4,6,7)为角格数时，幻和为14，而4、6所在边将重复使用数字4，因此也无法构造，剩下的(1,4,6)、(2,5,7)则都各有一种对应的幻三角(图9).

图9

剔除4的情形：

如果剔除的数字是4，则有余下6数的和：1+2+3+5+6+7=24，因此角格数a,b,c之和将为3的整数倍，因此，能够作为角格数出现的数组可能为(1,2,3)、(1,2,6)、(1,3,5)、(1,5,6)、(2,3,7)、(2,6,7)、(3,5,7)、(5,6,7)这8种，对剩下的四个分别进行尝试：

图10

从图10中可以看到，这8个里面，只有两种情况可以使用除4外的6个数字构造幻三角.

剔除5的情形：

剔除5时，类似分析，1+2+3+4+6+7=23，因此角格数a,b,c之和模3余1，能够作为角格数出现的数组可能为(1,2,4)、(1,2,7)、(1,3,6)、(2,4,7)、(3,4,6)、(3,6,7)这6种，数字1和7必须共边且一个是角格数一个是边格数，因此我们排除掉(1,2,7)、(3,4,6)这两个，对剩下的四个分别进行尝试，见图11：

这4组角格数里面，只有两种情况可以使用除5外的6个数字构造幻三角.

图11

剔除6的情形：

最后一个，剔除数字6的情况：1+2+3+4+5+7=22，因此角格数a,b,c之和模3余2，能够作为角格数出现的数组可能为(1,2,5)、(1,3,4)、(1,3,7)、(2,4,5)、(2,5,7)、(3,4,7)这6种，数字1和7必须共边且一个是角格数一个是边格数，因此我们排除掉(1,3,7)、(2,4,5)这两个，对剩下的四个分别进行尝试：

图12

这4组角格数里面，只有两种情况可以使用除6外余下的6个数字构造幻三角(图12).

所有情形分析完后，我们可以看到，用1至7中的六个数字构造的幻三角(算上剔除数字恰为7的情况)总共有：4+2+2+2+2+2+4=18种.

另外，在通过分析角格数可能的数组来寻找可能的幻三角过程中，不知道大家是否注意到，剔除1与剔除7(最初分析的使用1～6的情形)的情况有些接近，都是总共有4种幻和并且每种幻和对应一种幻三角，剔除2的情况与剔除6的情况相近，从角格数分析都是4种角格数组，而分析下来只有两种幻和，并各对应一种幻三角，而剔除3的情况又与剔除5的类似，4种角格数组，对应4种幻和，但是只有两个幻和能找到对应的幻三角，这能给我们什么启示呢？

注意到这些相似的数对——1和7、2和6、3和5，它们在1到7这七个数中的位置恰是对称的(将1到7按顺序排列后所在位置前后对称)，这个如何理解呢？我们可以用字母表示数，将这些数字的一般关系表示出来：在1至7这些数中，任意一个数字a，其对称数字为8-a.假设这七个数字中的某六个能够构造出幻三角，如图13，那么我们将每一个数字都换成它对应的对称数字，会发现，当a+d+b=b+f+e=a+e+c时，那么下式也将成立——(8-a)+(8-d)+(8-b)=(8-b)+(8-f)+(8-e)=(8-a)+(8-e)+(8-c).也就是说，换数字后依然能够组成幻三角！理解这些关系后还会惊喜地发现，下式中8其实换成9也依旧成立，或者说这种关系其实与这些数字是1到7还是1到8无关，连续6个以上的数字都可以有类似性质.这个小结论意味着我们一旦写出一个幻三角，将每个数字换成其对称数字即可立刻构造另一个幻三角，可以帮我们节省一半的寻找工程，简直太美好了！

图13

除了上述的对称数字的描述，在用1到7中六个数字构造幻三角过程中，去掉7(使用1到6)与去掉1(使用2到7)二者的相似性还可以如此分析：从1到6变为2到7，相当于每个数字都加一，而有了a+d+b=b+f+e=a+e+c便可以推出(1+a)+(1+d)+(1+b)=(1+b)+(1+f)+(1+e)=(1+a)+(1+e)+(1+c)，同样满足幻三角的定义.也就当分析完1到6的幻三角构造流程后，相应地也能推导出由2到7这六个数字构造的幻三角，甚至还能看到，当数字换成3到8时也类似地由1到6所造的幻方每个数字加上2得到，同理，4到9的、5到10的这种连续6个数能够构造出来的幻三角，也是有且仅有4种.值得一提的是，这种在已有幻三角的六个数字同时加上相同的数字而得到在更大数字选用范围限定下的幻三角的方法，不止在连续6个数字中适用，而是在任意六数所造的幻三角中都可以推广(如1至8能构造的幻三角个数将与2至9构造的幻三角一样，因此我们只需要讨论1与9同时存在的情况所有的幻三角个数即可)，这结论是显然的，所以我们在分析更大的数字选用范围时，其实完全可以借助之前的分析来节省工作量，新的分析任务将只集中在讨论1与最大数字同时存在的情况数目即可.

在前面的分析中，我们主要是从剔除的数字进行分类，并从角格上的三个数可能有的取值数组入手分析，随着数字可选择的范围的增大，剔除数字也将由1个增至若干个，分类数将增加，而且角格上的三数组合也将明显增多，因此，继续使用这样的遍历模式可能在后续工作上会比较困难.可以考虑先计算出幻和的取值范围，然后按幻和分类，再利用前述的若干结论进行遍历(不需要所有幻和都遍历一遍，只需要折半分析，后半部分可由前半部分利用对称性构造出来).当一边固定1与最大数并选其一放于角格上后，该边也就只有一个位置需要确定，并且幻和也将随着该数的确定而被相应地定下，例如，在1至8的幻三角分析中，只需要考虑1和8同时在的情况(1不在或者8不在的情况将由1至7的构造数目确定，各有18种)即可.

由于1、8必须共边，且一个位于角格一个位于边格，可以依此分为两类(见图14).而由前面的分析我们知道，在所有的数字选用范围为1至8这8个数时，1与8刚好是位置对称的两个数，因此，这两类所对应的幻三角数目相同，故现只需要分析其中一类(不妨取图14中的左图这类)能够得到的幻三角最后乘以2即可得到所有的数目.

图14

如图14所示，在b的位置，最小放的是2，最大放的是7，从而幻和最小是11，最大16.而b=2与b=7在这组数中正是对称位置，因此当b=2时，幻和为11，需要f+c=9;e+c=10，在剩余的数字3，4，5，6，7中，3+6=4+5=9；3+7=4+6=10，因此c的位置可以有三种选择：3、4、6，分别可以对应三个幻三角，如图15.

图15

当b=3时，幻和为12，需要f+c=9;e+c=11，在剩余的数字2，4，5，6，7中，2+7=4+5=9；4+7=5+6=11，因此c的位置可以有三种选择：4、5、7，分别可以对应三个幻三角，如图16.

图16

当b=4时，幻和为13，需要f+c=9;e+c=12，在剩余的数字2，3，5，6，7中，2+7=3+6=9；5+7=12，因此c的位置可以有1种选择：7，对应的幻三角如图17.

图17

图18

当b=5时，幻和为14，需要f+c=9;e+c=13，在剩余的数字2，3，4，6，7中，2+7=3+6=9；6+7=13，因此c的位置只能有2种选择：6、7，对应的幻三角如图18.

当b=6时，幻和为15，需要f+c=9;e+c=14，在剩余的数字2，3，4，5，7中，没办法找到和为14的两数，因此这种情况不可能构造出幻三角，同理，当b=7时也没办法构造出幻三角.

因此，我们在将1放角格8放边格的这一类分析中总共找到了9种幻三角，而反过来将8放角格1放边格的情况，只要将每个数字换成其对称数字即可，同样将有9种，也就是共18种如图19.

图19

由前述分析，可以知道，现在1～8所构造的幻三角可以依据使用数字分为以下几类：1.使用连续6个数字(使用1～6、2～7、3～8)；2.在连续7个数字中剔除除了首尾两数之外的任一个数获得6个数(在1～7中同时使用1、7；在2～8中同时使用2、8)；3.1、8都用上.第一类与使用1～6构造的幻三角个数一致，为4种，第二类与在1～7中同时使用1、7的情况数目一致，各10种，第三类为18种，因此，1～8所构造的六数幻三角总共有4×3+10×2+18=50种.

注意到计算1～8所构造的六数幻三角总数时所分的三类，最关键的就是在每一次新数字范围中最值同时出现时幻三角的个数(如1～6中1、6；1～7中1、7；1～8中1、8同时出现)，并且它们可以直接呈现出一种类型能够构造出的幻三角数目.用a1,a2,a3,…,an,…分别表示从1～6、1～7、1～8、…等幻三角构造问题中，最大最小值同时用上时幻三角的个数(例如1～8分类中的第三类)，用b1,b2,b3,…,bn,…分别表示使用数字范围为1～6、1～7、1～8、…时能构造出的幻三角总数目(例如1～8时总共有50种)，则有：

其中，初始值a1=4；a2=10；a3=18.

若用Sn表示数列an的前n项和，则有：bn=bn-1+Sn(n≥2).要梳理出数列bn的通项公式，必须找出数列an的通项公式，现尚未找出统一的公式，于是就很有必要依托之前找到的各种小结论，以缩减我们寻找每一项的工作量.

可以看到，仅构造六数幻三角的问题便可分析出如此多的结论及发现，在使用数字的数目不多且仅使用加减法便可逐步分析的情况下，它依旧能够找到诸多值得思考及深入的问题，并且它们常常不像想象中那么简单，需要具备一定的归纳梳理能力，其教育价值不言而喻.在将此游戏活动引入课堂的过程中，我们可以让学生从尝试填上一些空缺数字以及半猜半算地去拼凑幻三角，但随着学生思维水平的逐步提升，我们可以将幻三角背后的一些思维启发呈现给学生，也有必要让他们去体验数学问题中哪些问题是重要的，常常以哪些问题作为着力点，并借由数学游戏活动让他们感受到很多数学内容都以简单形式开始，但是其背后的奇妙逻辑其实是具有挑战性的.要想在解决问题时更加高效，我们就必须在面对问题时多观察多思考，所有的惊奇发现都是某一次思考时的“灵机一动”产生的，而幻三角正是这样的数学游戏.