基于MPCK视角下的初中数学概念教学——以“平均数(1)”为例

陈燕梅 王淼生

(福建省厦门第一中学 361003)

1 MPCK理论

舒尔曼1986年提出PCK理论后，立即引起各国学者关注，从而使数学教师特有的学科教学知识从PCK泛学科的研究中独立出来，形成MPCK(数学教学内容知识)理论．MPCK理论要求教师必须具备数学学科知识( MK)、 一般教学法知识( PK) 、有关数学学习的知识( CK) 以及教育技术知识( TK)[1]，才能够把学术形态的数学知识有效转化为教育形态的数学知识，促进学生的数学理解，提高数学能力和提升数学素养．而这4类知识的综合与融合就是数学教学内容知识( MPCK) ，即数学教师从事数学教学所应具备的核心知识[2]．

概念是思维的基本单位，数学概念是导出全部数学定理法则的逻辑基础，是建立理论系统的中心环节，同时也是解决数学问题的前提．在日常教学中，教师让学生记忆、理解、题海训练是概念教学的普遍现象，往往忽视概念的本质，因而学生在运用概念解决问题时常常出现生搬硬套甚至束手无策的现象．基于此，教师在教学中启发学生建构概念、理解概念的内涵和外延尤为重要．

2 MPCK视角下的概念新授课

不久前笔者在厦门市开了一节公开课《平均数(1)》．以下分享基于MPCK视角下的教学设计、反思以及专家评析．

本节选自义务教育课程标准实验教科书《数学》(人教版)八年级下册，是第20章“数据的分析”第1节“数据的集中趋势”第1课时的内容 ．

本节是数据分析这一章节的起始课．学生在七年级时学习了数据的收集、整理和描述，知道可以用统计图表整理和描述数据.以前通过数据计算，学生学习了算术平均数，知道它可以反映一组数据的平均水平．

根据教材内容和学生情况，本节学习的主要内容是让学生在实际生活背景中理解算术平均数、加权平均数、权的意义；能从统计图表中获取信息，计算一组数据的算术平均数以及加权平均数，体会权的作用．

2.1 活动一 创设情境，建构概念

设计意图让学生感受引入“权”的合理性，理解“权”的意义．

数据分析与日常生活息息相关．之前我们已经学习了如何用统计图表来整理和描述数据．为了进一步获取有效信息，还需要对相关数据进一步分析，用数据说话．

问题老师根据学生的期中考试成绩和期末考试成绩计算学期总评，小明同学期中考60分，期末考90分(百分制)．

(1)你能算出他的平均成绩吗？

追问：如何计算n个数的算术平均数？

(2)若以这个算术平均数作为学期总评，你认为合理吗?

追问1：为什么不合理？

追问2：期末考试是学期综合考查，如何体现期末考试的重要性？

(3)你是怎么算的？为什么这么算？

(4)在这个问题中，3和7(举例)有什么用？

追问1：什么是“权”？什么是“加权平均数”？

追问2：还有哪些也是权？

(5)如何把这种加权平均数的计算方法推广到一般情况？

(6)期中考和期末考的分数不变，为何得到不同的总评成绩？

我校正高级教师王淼生对本节课进行了评析，以下简称“专家评析”.

专家评析活动一是本节的核心内容．教师运用“概念同化”提出并建构“权”与“加权平均数”的概念，概念同化过程是学生对概念的主动理解过程，是学生利用已有认知结构对概念进行重新建构的过程．曹才翰、章建跃在《数学教育心理学》中提出，概念教学得以充分展开的根本原动力是学生已有的认知结构与新概念之间的不平衡．根据皮亚杰的认知发展理论，学生在遇到新概念时，总是先用已有的认知结构去同化，如果获得成功，就得到暂时的平衡；如果同化不成功，则会调节已有认知结构或重新建立新的认知结构，以顺应新概念，从而达到新的平衡．教师应该根据学生概念学习的这种机制，利用新概念与学生已有认知结构之间的差异来设置相应的教学情境，以使学生能够意识到这种不平衡，从而引起学生的认知需要，促使学生展开积极主动的学习活动．

从MK上看，教师在引入新课时关注本章知识与已有知识的联系，让学生明确感受到，在收集数据后，要进一步获取信息，需通过计算统计量进行分析．数学源于生活，教师用学生熟悉的考试成绩计算总评来创设问题情境，通过问题串设计引导学生从已有的认知(算术平均数)中寻找差异，自主建立“权”的概念．问题简洁易懂，跳出繁杂的计算，激发学生的学习兴趣，凸显统计的意义．

从PK上看，教师通过启发式的讲授引领学生思考．从“权”的存在，到“权”的含义、加权平均数的计算，再反思“权”对结果的影响，新概念逐步浮出水面．在探究加权平均数的计算方法时，教师采用特殊与一般的数学思想，启发学生自主获得计算公式．

从CK上看，教师在问题(2)环节，鼓励学生思考，并相互交流、讨论．课堂上，当学生回答“合理”时，教师及时引导学生阐述原因，并点拨关键点：“同样重要”；当学生回答“不合理”时，教师进一步追问原因，启发学生思考如何体现重要性不同．对于学生回答的不同形式的权，教师给予了肯定，学生感受到了“权”的存在．

2.2 活动二 例题教学，应用新知

设计意图从统计图表中获取信息，计算算术平均数及加权平均数，进一步理解权的意义．

例1一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示：

选手演讲内容演讲能力演讲效果A859595B958595

请根据下列问题计算选手的综合成绩，确定两人的名次．

(1)按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%，计算选手的综合成绩．

(2)若演讲内容、演讲能力、演讲效果按照1∶3∶1的比确定，计算选手的综合成绩．

专家评析从MK上看，教师灵活处理了教材的例题，增加设计第(2)题，设计不同形式、不同数据的权，给予学生计算便利的同时，在对比中识记，巩固新知，从而感受权的重要性．

从PK上看，第(1)题先由学生猜想判断，然后师生共同完成，教师规范书写解答，为后续学生解题提供良好的示范．教师展示学生第(2)题的答题情况，并由学生进行点评．

从CK上看，在解答第(1)题时，教师不是直接让学生计算，而是设问：“不用计算，聪明的你能否直接判断出他们哪一个的成绩高?”，鼓励学生分析、推断，让学生对“权”的作用有更深的体会．在解决问题的过程中，教师引导学生关注以下内容：这两名选手的平均成绩一样吗？让学生发现加上权重之后颠覆性的结论，引发认知冲突，凸显权的意义；通过设问加深对概念的理解，如85的权是多少，40%是谁的权；关注第(1)问列式中的分母(50%+40%+10%)，与前面权的计算公式统一．

2.3 活动三 应用迁移，巩固提高

设计意图掌握计算加权平均数，进一步理解权的意义．

练习某广告公司欲招聘一名职员，A，B，C 三名应聘者的测试成绩(百分制)如下表所示：

应试者测试成绩创新能力计算机能力公关能力A725088B857445C677267

(1)如果公司招聘的职员分别是创作总监、网络维护员和客户经理各一名，给三项成绩赋予相同的权合理吗？

(2)请你设计合理的权重，为公司招聘一名职员：

① 创作总监；② 网络维护员；③客户经理．

专家评析从MK上看，此练习背景源于生活，解决问题的过程中需灵活运用加权平均数．设计开放题问题，有利于培养学生的发散思维．

从PK上看，教师根据加权平均数的计算公式预先设计好如下Excel表格程序，根据学生的回答输入“权”，计算机直接显示A、B、C的成绩．将现代信息技术有机融入数据处理，让学生透过现象发现规律．

我来决策

从CK上看，教师通过开放性问题让学生主动运用“权”影响一组数据的平均水平，帮助学生内化对权意义的理解，发展数据分析的观念．

2.4 活动四 独抒己见，畅谈所得

设计意图知识与方法的梳理，进一步理解本节新知识．

问题1：这节课你学习了什么知识？有什么感受？

追问1：加权平均数在数据分析中的作用是什么？

追问2：权的作用是什么？

问题2：在这节课中，“权”出现的形式有哪些？

建筑是社会构成的重要组成部分，为社会群体的生活、学习和工作提供了重要平台，房屋建筑在实体经济中发挥着重要作用。目前，各种建筑都充斥着人们的生活。因此，为了使人们的生活更加稳定和和谐，建筑物的安全和质量必须有更高的保障。这座建筑的建造过程需要更长的时间。在整个施工过程中，必须保证施工强度高度集中。只有这样才能保证建筑完工后的质量。另外，建筑的施工过程涉及的内容较多，如施工前的检验、施工工艺、原材料、施工后的验收等都很重要，任何一个内容问题都可能对建筑质量产生负面影响。

追问：“权”的不同形式之间可以相互转化吗？(课后思考)

问题3：我们今天学习的“加权平均数”和之前的“算术平均数”都属于平均数，想一想它们之间有什么区别和联系？

问题4：数学源于生活，从刚才的学习中，我们知道权与生活息息相关．你还能举出其他的例子吗？

问题5：关于本节的学习，你还有什么疑问吗？

专家评析从MK上看，教师紧扣教材重点难点，从以下几个方面进行引导归纳：

(1)“权”与实际生活息息相关；

(2)当一组数据中各个数据重要程度不同时，加权平均数能更好地反映这组数据的平均水平；权反映数据的相对重要程度，数据权的改变一般会影响这组数据的平均水平．

(3)如何计算加权平均数．

问题2教师从学生的回答出发，指出百分比的形式有时也以小数或分数的形式出现，当然，体现数据的相对重要程度，不止上述形式，比如下节课将学习“权”出现的另一种形式，鼓励学生提前预习，为新课学习做下铺垫．

问题3教师启发学生议关联，理头绪，建构知识体系．在获得概念的过程中，通过概念之间的关系认识新概念，同时使学生对已有的相关概念获得更深刻的理解．

从PK上看，教师组织学生小组讨论，课堂气氛浓厚．

从CK上看，教师设置层层递进的问题引导学生思考、讨论、举例．课堂教学中，学生畅所欲言，列举了许多生活中的实例．比如有的学生谈到中考总分计算的方式(不同学科不同权重)，对应于自己的学习，应如何科学合理分配时间才更加高效；有的学生谈到将来自己在参加招聘或招聘员工时，要注意根据岗位需求关注或设置权重等．

3 优化教师MPCK的策略

3.1 钻研教材，力透纸背分析，发展教师MK

钻研教材有助于发展教师MK，因为教材是许多专家、学者智慧的结晶，是师生对话的“话题”，是引导学生认知、建构学科知识的范例，也是促进学生智力和能力发展的平台．章建跃教授提出一堂好的数学课基于三个理解：理解数学、理解学生、理解教学，这里的“理解数学”的前提就是挖掘教材中数学知识蕴含的价值资源．因此，在备一堂新课时，教师不但要“逐字逐句”研读教材，还要“力透纸背”，“精致”地处理教材，从而发展MK．教师要解读课标，把握本节的教学目标，确定本节课的重点和难点；遵循学生的认知规律和思维发展水平，巧妙设计新知识的生成过程，并根据学情进行教学内容的增减；挖掘本节课蕴含的数学思想方法，挖掘本节课对学生后续学习最重要的迁移价值，挖掘本节课的教育意义等．

研读本节教材，明确本节教学的重点是理解加权平均数的意义，体会权的意义；难点是对“权”意义的理解，用加权平均数描述数据的集中趋势；关键点是引导学生了解权的含义，进而认识加权平均数的统计意义及加权平均数从一个侧面反映一组数据的集中趋势，即平均水平．

统计的教学价值在于发展学生的理性思维，让人讲道理，以理服人．数据分析是统计的重要环节，平均数是衡量一组数据集中趋势的重要统计量，它反映了一组数据的平均水平，是度量一组数据波动大小的基准，为后续学习方差奠定坚实的基础.

3.2 实践课改，体现学生主体，提升教师CK

实践课改，教师作为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，应关注学情，体现学生的主体地位，提升自我的CK．

章建跃的“理解学生”就是以学生为主体的最好的体现，它的核心是“理解学生的数学认知规律和情感发展规律”．因此，提升教师CK，需以学生为基点设计新知识的发生和发展过程．

本节的授课对象是八年级的学生，他们思维活跃，对观察、猜想、探索性的问题充满好奇．针对学生的心理特征，本课时在“权对于结果的影响”的教学环节，采用让先学生分析、推断的探究方式，让学生感受到探索的乐趣．

由于生活经验的局限，同时受认知水平的影响，学生对权的意义和作用的理解存在一定的困难．因为缺乏对概念本质的理解，在运用加权平均数分析数据时，容易混淆数据和权，部分学生往往只会记住公式，而不会解释数据分析结果的实际意义或统计意义，把统计问题的学习仅仅停留在计算层面．基于此，教学中要让学生感受引入“权”的必要性、凸显“权”的重要性、揭示“权”的本质性．同时，让学生了解在现实生活中有许多问题可以通过分析数据做出判断，体会数据中蕴含着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法，培养数据分析的意识，发展数据分析素养.

3.3 立足目标，导航教学全程，灵活选择PK

教学目标是一切教学活动的出发点和最终归宿，以教学目标为基点导航教学全程，灵活选择PK．

本节的知识与技能教学目标为：理解平均数、加权平均数、权的意义；能从统计图表中获取信息，计算一组数据的算术平均数以及加权平均数. 过程与方法：学生通过加权平均数分析一组数据的集中趋势，发展数据分析能力，逐步形成数据分析观念.情感态度与价值观：在课堂互动中鼓励学生全程参与数学活动，诱发好奇心，激发求知欲；进一步培养学生独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯．在对“权”统计意义理解的基础上，渗透公平公正、实事求是的价值观．

围绕着教学目标，细化到每一个教学环节，灵活选择PK．本节中教师进行启发性的讲授，设计层层递进的问题引领学生思考；设计有效的例题与巩固训练题(如活动二、三)，学生对于新知理解掌握，迁移应用．

综上所述，提升数学教师所应具备的核心知识(MPCK)，需准确理解教材内容，充分理解教学和课程目标，以及教材中蕴涵的数学思想等；掌握学生已有的知识储备、活动经验，预设学生学习过程中存在的困难，从而遵循学生的认知规律和思维发展水平，确定科学有效的教学方法和教学策略．每一次公开课，都是优化教师MPCK的重要平台，而教学中教师对数学知识的自觉追问和不断反思是优化MPCK的重要策略，最终构建魅力课堂．