指向数学基本活动经验的复习课尝试——以“平行四边形”复习课为例

●

(宁波外国语学校,浙江 宁波 315121)

基本活动经验是当前数学课程改革中被突出关注的一个目标[1]．数学的创造源自经验，而经验离不开活动．学生的数学基本活动经验是在参与数学活动的基础上产生的．具体而言，就是在数学目标的指引下，对具体的事物进行操作与实践，在独立思考、主动探究、合作交流过程中，完成从感性认识向理性认识的飞跃．数学基本活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志．

过去的复习课中更多关注的是数学基础知识、基本技能、基本思想等三基，而对基本活动经验关注不够．事实上，数学复习除了需要帮助学生巩固已学的数学知识外，还需要发展学生处理综合性问题的经验，即基本活动经验也应该成为复习课的重要目标．下面笔者以浙教版八年级下册“平行四边形”这一章节的复习课为例，谈谈在复习课中进行基本活动经验教学的一些做法．

1 课堂实录及设计意图

环节1复习旧知，激活经验.

图1

活动1给出一张四边形纸片(如图1，类似于平行四边形)，判断是否为平行四边形？

以4人为一个小组，对给出的四边形纸片的形状进行判定．

师：你们小组是如何判断的？

生1：只要测量一下对边是否相等即可．我们小组通过测量，发现一边为18．5厘米，另一边为20厘米，它不是平行四边形．

师：另一组还要测量吗？

生2：不用量了.

师：为什么？

生3：如果它是平行四边形，那么两组对边分别相等，现在量得一组对边不等，它肯定不是平行四边形．

师：说得好！用到了反证法的推理方式．

师：一般寻求解决问题的方法有很多种，我们要学会探究，学会比较．还有其他方式来判断吗？

生3：只要看看它两组对边是否平行.

师：怎么看对边是否平行呢？

生3：拿一幅三角板推一下，不过会比较麻烦.

生4：可以借助量角器测量对角，两组对角相等就可以判断它为平行四边形．如果允许的话，将两组对角剪下来，比较一下就好了.

师：对啊，只要确定两组对角相等即可判定为平行四边形，这是根据什么呢？

生5：根据四边形内角和为360°，可以得到邻角互补，从而得到对边平行．

师：很好！还有其他判断方法吗？

生6：可以看对角线是否互相平分.

师：只要将其对角线画出来交于一点，就可以通过测量确定对角线是否互相平分．

师：同学们，判断不能光靠眼睛，我们要学会用事实说话，做到言必有理！通过刚刚大家的讨论，我们知道了如何判定平行四边形，这就是今天要复习的内容(给出课题——平行四边形复习课).

从边、角、对角线这3个方面总结得出平行四边形的判定定理．在具体的判断过程中，要寻求问题解决的基本方法，如学会用分类的思想方法清晰、有序地解决问题；也要找到解决问题的最佳方法，从可行性和难易程度上给以评价，鼓励学生积极思考，主动发言，建立良好的学习秩序．

师：现在，展示给大家的是一张平行四边形纸片．请问平行四边形有哪些性质?

由于平行四边形的判定定理和性质定理存在互逆关系，因此在已知四边形是平行四边形的基础上，从边、角、对角线以及对称性等方面复习平行四边形的性质变得顺理成章．事实上，在学习几何过程中，“概念—性质和判定—应用”是研究图形的一般方法．

设计意图知识点的复习是复习课的必要环节．如果在上课伊始直接列出知识点就会显得机械、生硬，为复习而复习．本节课通过创设情境对四边形纸片的观察、测量、验证来判定图形的形状，在复习平行四边形知识点的同时，让学生在实际操作中应用知识，引起学生学习数学的兴趣，激发已有的活动经验，拉开整节课的序幕，也为下一个环节的展开承前启后．

环节2综合应用，建构经验.

活动2利用已知平行四边形纸片设计一个新的平行四边形(工具不限)．

师：请注意问题中的“利用”两字，能否借助原平行四边形的性质得到新的平行四边形呢？比如，利用平行四边形对边平行且相等的条件等等．

众生点头，表示赞同．

师：4人为一小组，进行动手实践，合作探究，看哪组同学得到的设计方案又快又多．

学生们的思路打开了，教师对各小组进行个别指导，提醒学生也可以通过已知平行四边形的边、角和对角线性质设计新的平行四边形．

约10分钟后，各小组派代表发言，说出探究的结果．学生回答，教师引导，最后从已有的边、角、对角线这3个方面进行了整理．

1)借助原平行四边形“边”的条件．

列举以下两种情况(如图2和图3所示):

图2 图3

对每个图形简要说明，进一步强化平行四边形的性质和判定．如图2，若条件为AE=BF，用原平行四边形对边平行，则得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．若条件为EF∥AB，则得到两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

2)借助原平行四边形“角”的条件．

列举以下两种情况(如图4和图5所示):

图4 图5

3)利用原平行四边形“对角线”的条件．

①利用一条对角线．列举以下两种情况(如图6和图7所示)：

图6 图7

②利用两条对角线互相平分．列举以下两种情况(如图8和图9所示)：

图8 图9

在课堂上，各小组积极探索，群策群力，一共得到了14种不同的设计方案．课后，学生对设计任务单进行进一步的总结、整理，汇总了各种不同方式的设计，如此一来，将平行四边形这章节的基本图形“一网打尽”，学生不断在性质和判断中切换，在实践和探索中逐步构建解决平行四边形问题的经验(任教的两个班级课后共得到22种不同的设计方式，笔者在班级中展示，给予积极的评价)．

课堂的时间总是有限的，若将所有设计的情形一一列出，既不可能，也没有必要，适当地将问题留到课后是明智的选择．利用课后的任务单，既巩固了课内知识，积累了活动经验，又是对数学基本活动经验的整理和提升．

追加问题利用任意四边形纸片设计一个新的平行四边形．

师：将条件变成任意四边形后，原来的等量关系和位置关系就不复存在了，如何在一般图形中构造平行得到平行四边形呢？我们还学过哪些知识点可以用来判断平行？

生7：三角形的中位线.

师：那四边形如何转化为三角形？

生8：联结四边形的对角线．

图10

学生们很快就想到了方案：如图10，取四边中点E,F,G,H，联结EF，FG，GH，HE，根据三角形的中位线性质，得到四边形EFGH为平行四边形．

设计意图活动2的设计相对比较开放，教师在“利用”两字上给予引导．教师在提供支架时渗透分类思想，让学生从已有平行四边形的边、角、对角线这3个方面出发，利用“已知”构造“未知”.分类思想对于复习平行四边形的判定和性质以及之后的合作探究起到了积极的作用，让学生目标明确、有法可寻，也使整节复习课条理化、系统化．活动2的开展可以使学生灵活应用平行四边形的各种性质和判定，将平行四边形中的基本图形和典型例题浓缩在这个数学活动中，以一抵十，学生也可以从中发现数学的本质及数学的魅力．环节2中追加的“中点四边形”问题既复习了三角形中位线的知识，又为环节3作了铺垫．

环节3拓展提高，应用经验.

活动3将任意四边形纸片剪拼成一个平行四边形.

师：剪拼，要求将图形剪开成若干图形，重新拼合(无空隙、无重叠)成新的图形．我们这里的“剪”,要求按直线剪开．请各小组合作探究，看哪个小组先想出方案．

师(提示)：在上面的活动中，我们得到了平行四边形，不过是四边形的内接平行四边形，其面积刚好是原来的一半，那是否可以在这个基础上操作呢？

生9：可以把剩下的几块拼起来.

学生们进一步探讨，改良得到以下方案：如图11，取四边中点E，F，G，H，联结EF，EH，HG，沿EF，EH，HG剪开，将△BEF，△HGD分别绕点F,G旋转180°，再将△AEH平移，即可拼得平行四边形EIJH(简单说理)．

图11 图12

师：有没有更直接的方式来完成剪拼呢？

引导学生动手实践、合作交流，得到以下剪拼方案：如图12，取四边中点E，F，G，H，联结EG，HF，沿EG，HF剪开，把四边形ABCD分成四块，将四边形BEFI，HIGD分别绕点F，G旋转180°，再将四边形AEIH平移，即可拼得平行四边形IJKL(简单说理)．

如何将一个图形顺利剪开后再拼合呢？既然要拼合，将长度相等的线段拼在一起是很好的选择，因此在具体的操作过程中，经常取边的中点，再结合角度要求，通过旋转或平移等方式，将图形重新组合．

设计意图环节3的设计将平行四边形的复习推向高潮，在活动2中“利用任意四边形构造平行四边形”的基础上，依靠自主实践、合作探究，对环节1中给出的四边形，利用中心对称及平移等变换解决剪拼难题，积累基本活动经验，在实践中提升数学素养，画龙点睛，将本节课推向新的高度．

环节4课堂小结，提炼经验.

课堂小结不是简单的知识罗列，而是从这堂课3个活动的探究过程与结果，与学生一起交流总结基本的数学活动经验、感悟基本数学思想、领悟数学本质、体会在“活动”中学数学的乐趣．

数学的基本活动经验，教师是没有办法“教”学生的，必须由学生通过大量的数学活动逐步获得，在“做”中获得．本节课以四边形纸片为载体的基本活动贯穿始终，环环相扣，层层深入．通过观察、操作、合作交流等具体活动，引导学生在自主探索过程中强化平行四边形的判定和性质，并使学生在掌握已有知识的基础上进一步探索未知，组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中，将直观操作与简单推理有机结合，发展学生合情推理及良好的说理能力，并将论证作为探索活动的自然延续与必要发展，在实践中获得解决问题的一般性结论，形成知识网络，获得良好的数学基本活动经验．

2 若干反思

1)关注主题性的活动并积累经验．本节课以“四边形”为主角的活动贯穿始终，通过基本活动经验的形成，得到各种活动结果.而这些活动的结果基本囊括了平行四边形章节中的图形，经济高效，内容贴近学生的实际，学生便于体验与理解、思考与探索．

2)强调以学生为主体，为学生经历、探索提供机会．基于数学基本活动经验的新型复习课，学生占主体地位，而教师则起到了组织者、引导者与合作者的作用．在教师的启发和引导之下，学生循序渐进地完成了知识点的复习与应用，更重要的是学生在这个活动过程中获得思考问题的方式和方法，积累基本的活动经验，提升数学素养，感受数学魅力．

3)强调学生全方位的参与．本节课中，通过量一量、画一画、剪一剪、拼一拼等多样的活动形式充分调动学生的多种感官，得到一个全方位的体验．把要发现、探索、解决的数学问题设置在活动之中，然后让学生通过认真观察与思考，从中发现所要研究和解决的问题．注重小组合作学习，通过小组讨论活动，以发挥每个成员的独特作用，让学生学会分享彼此的经验，合作解决问题，培养学生的团队合作精神与能力．活动设计得新意、动感、灵气，让学生像学新知识一样充满热情地投入到复习中．

4)重视在过程中发展学生的“四基”．数学教学既需要关注结果性知识的学习及结果形态的技能训练，更需要关注存在于数学过程之中的思想方法和基本活动经验．尤其是数学基本活动经验的积累需要学生“在做中学”，即让学生在经历数学过程中对比、感悟、交流与反思．学生通过借鉴他人的智慧和启示，调整自己在数学活动中的所思、所想和所感，从而实现数学基本活动经验的提升．事实上，数学基本活动经验的积累与另外“三基”的发展有着相辅相承的关系．一方面，基本活动经验的积累离不开知识的学习[2]；而另一方面，学生获得了数学基本活动经验的同时，也获得了在活动过程中产生的基本知识、基本技能和基本思想．

总之，我们要改变对复习课的认识，通过改变学生的学习方式，在复习课中帮助学生积累数学基本活动经验，让每个学生真正地“活”“动”起来，落实教学的“四基”目标，提升学生的数学素养．