若干Hermite-Hadamard型不等式的改进
2019-01-15曾志红时统业
曾志红,时统业
(1.广东第二师范学院 学报编辑部,广东 广州 510303;2.海军指挥学院,江苏 南京 211800)
1 引言
若f是区间I上的凸函数,则对于任意a,b∈I,a
(1)
式(1)就是著名的Hermite-Hadamard不等式。对Hermite-Hadamard不等式的加细和推广以及利用导函数来估计由Hermite-Hadamard不等式生成的差值已有很多结果,比如文献[1-20]。
文献[9-10]通过考虑[a,b]上满足a≤x
设f是[a,b]上的可积函数,a≤x
当λx+λ′x′=λy+λ′y′时,可将H(t)和P(t)分别化为文献[11]中的H1(t)和P1(t)。由文献[11]的引理1.2得
在f为[a,b]上可微的凸函数,且λx+λ′x′=λy+λ′y′的情况下,文献[11]利用不等式
给出了结果:
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
本文的定理1给出式(2)~(6)的改进。
引理1 设f是[a,b]上的可微函数,且f′在[a,b]上可积,a≤x 证明用分部积分法容易证明,这里略去过程。 引理2[11]设f是[a,b]上的凸函数,a≤u0,λu+λ′u′=λv+λ′v′,则有 λf(v)+λ′f(v′)≤λf(u)+λ′f(u′)。 定理1 设f是[a,b]上可微的凸函数,a≤x (7) (8) (9) (10) (11) 其中 故式(7)的右边得证。 对任意s∈[x,y]时,有 f(ts+(1-t)y)-f(y)≤f′(ts+(1-t)y)t(s-y)≤f′(x)t(s-y), 对任意s∈[y′,x′]时,有 f(ts+(1-t)y′)-f(y′)≤f′(ts+(1-t)y′)t(s-y′)≤f′(x)t(s-y′), 于是有 故式(8)的右边得证。 对任意s∈[x,y]时,有 f(tx+(1-t)s)-f(y)≤f′(tx+(1-t)s)(t(x-s)+s-y)≤f′(x)(t(x-s)+s-y), 对任意s∈[y′,x′]时,有 f(tx′+(1-t)s)-f(y′)≤f′(tx′+(1-t)s)(t(x′-s)+s-y′)≤f′(x′)(t(x′-s)+s-y′), 于是有 故式(9)的右边得证。 故式(10)的右边得证。 对任意s∈[x,y]时,有 f(tx+(1-t)s)-f(ts+(1-t)y)≤f′(tx+(1-t)s)(t(x-s)+(1-t)(s-y))≤ f′(x)(t(x-s)+(1-t)(s-y)), 对任意s∈[y′,x′]时,有 f(tx′+(1-t)s)-f(ts+(1-t)y′)≤f′(tx′+(1-t)s)(t(x′-s)+(1-t)(s-y′))≤ f′(x′)(t(x′-s)+(1-t)(s-y′)), 于是有 故式(11)的右边得证。 类似可证式(7)~(11)的左边。 在中国,大大小小的旅游城市有不少,似乎都难逃一红火就乱象丛生的“魔咒”。我的家乡厦门也是一座“网红”旅游城市。随着游客数量陡增,很快就滋生出不少“带人进厦大”的黄牛党、绕路拒载还与餐馆勾结的出租车司机,以及环岛路海边“磨刀霍霍向游客”的海鲜店家,这些人虽然自己赚到了钱,却让游客的旅游体验大打折扣,也损害了家乡的声誉,令人心痛。 推论1 设f是[a,b]上可微的凸函数,a≤x 其中 定理2 设f是[a,b]上的可微函数,a≤x (12) (13) (14) (15) 证明由引理1及|f′|的凸性得 (16) 类似可证 (17) 利用式(16)和式(17)及引理2,得 类似可证式(13)~(15)。 推论2 设f是[a,b]上的可微函数,且f′在[a,b]上可积,a≤x 在推论2中若取t=1,则得到文献[7-8]的结果。2 主要结果