从一节中考专题复习课谈培养学生的数学思维

谢艳平

[摘 要]

如何培养学生的数学思维，是我们数学教师的教学根本。以中考复习旋转类解题分析为例，深入浅出地总结归纳了解好此类问题的方法技巧，启迪学生发散性思维，强化建立映射关系的能力，为学生学科思维的养成提供了很好的途径。

[关键词]

初中数学;数学思维;知识模型

学生的数学思维是需要教师的培养才能得到更好的发展。反观现实，一些教师鲜有“思维教学”这个概念，还局限于“知识教学”之中，认为把知识学好了能力自然就有了。所以很多教师常讲：“该教的知识都教了，该做的题目都做了，学生还不会，那就是学生的事了。”这种意识还停留在教学的最低层次。布鲁姆提出的认知目标六个层级是：识记、理解、应用、分析、评价、创造。后三个是思维的高层次发展目标，越是高层次的目标就越抽象，越难以把握，越需要长期才能见成效，但这恰恰是教师作用的发挥所在之处，教师对此应该有自己的思考和方案。

不管是为学生的终身发展着想，还是为提高考试成绩服务，思维教学是学科教学的核心，这一点已是大家的共识。下面我用一节专题复习课来阐述其中的道理。

旋转类问题是中考试题当中比较难的一类题目，常常出现在填空题压轴题或解答题压轴题中，那么如何破解这类压轴题呢？我们应根据问题的不同特点来研究应对策略。

首先复习知识点：旋转后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，旋转前后对应的三角形全等或者相似。

在复习知识点的基础上举例说明：

例1.已知：如图1，在等边△ABC中，AD=3，BD=5，求CD的最小值.

看到此类问题，我们采用归纳法为学生总结如下规律，并在解题中加以运用。如果题目中出现长度相等且有公共端点的两条线段，我们采用的方法就是旋转。这个公共的端点就是旋转中心，两条线段之间的夹角就是旋转角。旋转时，往往是一条线段要绑定一个三角形，旋转方向是朝着另一条线段旋转，一般情况就会将已知条件和问题集中在特殊图形当中，然后根据图形的性质解决。旋转后，如果有动点，就会产生最值问题。

通过此题，我们要培养学生一种数学思维模式：看到长度相等且有公共端点的两条线段，立即联想到旋转，在头脑中形成一种映射关系，固化为解题思路。

出示例2（如图2）.平面内两定点A、B之间的距离为8，D为一动点。且DB=2，连接AD，并且以AD为斜边在AD的上方作等腰直角三角形ACD，如图连接BC。求BC的最大值与最小值的差。

分析：点D到点B的距离为2，以AD为斜边作等腰直角三角形ACD，那么点C会随着点D的运动而运动，点C可以看作是由点D绕点A逆时针旋转45°，再伸缩[2]/2而得到，那么点C也可以看作是绕着某一点作圆周运动，这点应该是点D所在的圆的圆心B绕点A逆时针旋转45°，再伸缩[2]/2而得到。即以AB为斜边作等腰直角三角形ABB′，点B′为圆C运动的圆心，圆B′的半径为圆B的半径的[2]/2倍，所以圆B′的半径为[2]，所以BB′-B′C≤BC≤BB′+B′C即：3[2]≤BC≤5[2]，因此最大值与最小值的差为2[2]。

主从联动是旋转类问题中较为难理解的题目，我们首先要在题目中找到主动点和从动点，然后要分析从动点和主动点的关系，根据从动点的性质确定从动点的轨迹，从而解决问题。

例3（如图3）.Rt△ABC中，∠ACB=90°，sin∠BAC=[35]，AD=3，CD=4，BD的取值范围为    .

分析：（1）△ABC形状确定，但大小不确定。AD、CD大小确定，但不在确定的三角形中.

（2）要求的线段BD所在三角形只有一边确定，且无法利用已知条件建立有效联系.

问题的关键找到了，条件无法有效利用，说明模型不完整，它让我们根据条件积极地联想寻找相关的可用的数学模型并进行构造.

由条件知BC∶AC∶AB=3∶4∶5，我们可以联想到相似模型，题中的关键线段是AD、BD、CD，那么我们要做的事自然就是构造含AD、BD、CD的三角形使之与△ABC相似，也可以看成构造与△ACD、△BCD、△ABD相似的三角形，到最后你会发现一件既神奇又合理的事：它们是一致的、等价的，异曲而同工，殊途而同归！

既然△ABC的形状已确定，我们就以AD为边添补构造一个与之相似的三角形△AED。AD长已定，则△AED三边皆定。还要注意△AED的方向位置与△ABC要一致，为什么呢？因为这样才可以进行下一步推理，得到另一对相似三角形△ADC∽△AEB，这就是很常用的“旋转相似”模型，如下图4.

從构造的角度看，是在AD处构造一个以其为边的与△ABC相似的△AED;从运动变换的角度看，是把△ABC旋转缩放至△AED，或把△ADC旋转缩放至△AEB.

简要推理过程：作∠ADE=90°，DE=[94]，得△ADE∽△ACB，得AD∶AE=AC∶AB=4∶5，且∠DAC=∠EAB，得△ADC∽△AEB，CD∶BE=4∶5，所以BE=5，得5-[94]≤BD≤5+[94]，即[114]≤BD≤[294]。

上述方法可抽象概括为：以AD与AC为对应边构造三角形与△ABC相似，或旋转并缩放△ABC使AC与AD重合，或旋转并缩放△ADC使AC与AB重合.

抽象具有强大的作用是因为它可以作为规律重复使用，我们把它作为一般方法再使用，把上面的边或三角形进行同类置换：

以AD与AB为对应边构造三角形与△ABC相似，或旋转并缩放△ABC使AB与AD重合，或旋转并缩放△ABD使AB与AC重合.如下图5：

推理过程与前图类同，这里是先在△CED中求CE的取值范围，再根据BD=[54]CE求BD的取值范围.

图中的AD、BD、CD所处地位是等价的，根据对称原理，可以把三条线段任意一条作边构造3∶4∶5的相似三角形，每条线段有两种对应方式可作两种图形共有六种作法，或把三个三角形分别绕A、B、C三点顺逆旋转各一次共六种构造方法，另四种构造方式如下图6、图7、图8、图9：

上面六种构造方法从本质上来说是一种方式，可抽象为：以已知或所求线段为边构造相似三角形，最终把所求线段或其相关线段转化到一个有两边确定的三角形中，从而得到所求线段的取值范围.

我们在上面的问题解决中所用的都是基本的知识模型：旋转、相似、两点之间线段最短。

“一题多解，解法优化;一题多变，变中求同;多题一法，同模通法”是数学解题与习题教学中非常重要的教学方法，也是学生学习的方法。对各个数学知识模块，进行这三个维度的探究教学，非常有益于学生的数学思维能力的培养。

一道数学题中蕴含着丰富而深刻的数学思想，从一道题中充分反思，就可以获得思维方法，领悟数学思想，这才是解题的真正价值所在。教师在教学中常问的是：“你还能想到什么？”“你还有什么办法？”学生在老师的追问和鼓励下，逐渐学会从不同角度思考和联想，对一个问题形成多种解决方案，并辨析各种方法的优劣。

[参 考 文 献]

[1]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2014.

（责任编辑：张华伟）