估算、估算教学及其育人价值

徐文彬 孙 敏

在现实生活中，人们常常会自觉或不自觉地用到估算。譬如，为了准时到达某地参加某项活动，就要估计一下什么时候出门比较合适；为了按时完成某项任务，需要估计一下单位时间需要完成多少工作量才来得及。估算是计算能力的重要组成部分，也是一种重要的思想方法和数学能力。

一、估算的含义及其特征

（一）估算的内涵

估算能力是指个体在利用一些和估算有关的策略的基础上，通过观察数的特征、比较结果和某目标之间的大小等方法，获得概略化结果的能力。它不需要精确的答案，其发展依赖于近似数表征。

估算是一个有机整体，由多种成分组成，其内涵体现在各种成分的组织与整合上。国外有研究者通过调查研究，确认了估算的三个成分：重新表述，即更改数字资料以产生一个从心理上更易管理的形式但保留问题结构不受损伤的过程；转译，即将问题的数学结构变成心理上更易管理的形式；补偿，即做出调整，旨在反映作为转译或重新明确表述问题的结果而出现的数字变异。也有研究者发现估算有这样三个成分：事实提取、心算和重新表述。可见，估算是一个过程，是一个带有主观意愿的、个性化的、复杂的思考过程。

其实，估算比精算发展得更早，且受到教育的影响更小；估算比精算更为原始和底层，在非人类的动物身上仍然存在。在估算和精算依赖的底层认知机制上，我们可以从行为实验和脑成像研究中看到，估算比精算更加依赖空间能力，精算比估算更加依赖语言能力。由此可见，估算是一个人运算素养的重要成分，且更实用、更常用。

（二）估算的外延

估计、估算、估测、估数都涉及“估”，因而很有必要对这几个概念及其关系进行分析，并结合数学课程内容进行清晰界定。

1.估计。《汉语大词典》将估计描述为“根据情况，对事物的性质、数量、变化等做大概的推断”。有学者认为，不能把估计片面地看成估算，而应看作人类频繁心理活动的一种。估计是个体结合具体数学情境，依据已有数学经验，无须经历物理操作而快速地产生一个近似结果的一种心理加工过程。因此，估计是一个对估算、估测、估数等概念具有统摄性的上位概念。

2.估算。有学者将估算定义为粗略的计算，实质上是一种快速的近似计算，它的基本特点是对数值作扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围，或做出一个估计。另有学者将估算定义为个体未经过精确计算，而只借助原有知识对问题提出粗略答案的一种估计形式，是心算、数概念和算术技巧之间相互作用的过程。大家对后者的认同度较高，因此，可以把估算界定为对计算的估计。

3.估测。估测是十分实用的日常数学技能之一，主要包括对距离、面积、速度、温度、价格和重量等方面的估计。Bright将估测界定为在不使用一般的测量工具的情况下，以某种方法推测出测量结果的一种心理加工过程。这一定义受到国内外研究者的广泛认同，因此，估测就是对测量的估计。

4.估数。估数被认为是一种有关数字判断的数学问题解决形式，是灵活运用数学知识的一种适应性问题解决方式；是在缺乏充分的时间来计数对象的数量，或者计数对象的数量过大，或者运动过快的对象不能准确计数的情况下做出的粗略估计，是一种高层次的认知加工过程。因此，估数实际上是对数量的估计。

据此，可以归纳出估计的一些本质特征：运用已有经验；结合实际情境；相对快速；满足一定条件；是心理活动；结果是产生一个判断。因此，数学估计是主体结合实际情境运用已有数学经验产生一个相对快速且满足一定条件的数学判断的心理加工过程。有的数学估计是获得一个量的判断，有的是获得一个猜想、思路或方法等非量的判断，前者称为定量数学估计，后者称为定性数学估计。

由此可知，估计是对数与量体验和感悟、对运算过程加工改造和对运算结果预测估计的过程。结合数学四大内容领域的教学研究和不同类型数学学习的策略研究，以及人们的习惯，本文不用“估计”而统一使用“估算”这一概念，并将其细分为：数量估算、计算估算、测量估算、统计估算。

（三）估算的特征

1.主观性。估算是一项带有强烈主观意愿的活动，估算目的、估算过程以及对估算结果的处理都具有主观性，可以激发人主动学习、自主探究的愿望，促进个性发展。

2.意义性。估算不是为估而估，不论是数学情境还是生活情境，都能激发人们估的需求，估算问题具有意义性，能引导人们用数学的眼光观察现实世界，进一步认识数学的科学价值、应用价值和人文价值。

3.开放性。众多研究者通过对不同年龄阶段、不同学科背景、不同生活经验的人的估算能力进行研究，发现估算方法因人、因时、因问题而不同，估算方法具有极大的开放性，可以较好地促进学习者的知识与技能之间融会贯通，培养其思维的灵活性和独创性。

4.复杂性。估算虽然可以通过改写、简化相对快捷地得出结果，但其思维过程中步骤更多，具有复杂性，可以较好地发展思维的条理性和抽象性，促进数感、数据分析能力、推理能力的提升。

5.思辨性。估算出来的结果往往不能（直接）解决问题，还需要与问题进行比较，依据估算目标进行推理。因而估算结果具有思辨性，需要人们用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界，最终提升思维的综合性和概括性。

由此可见，估算活动过程中蕴含着深刻的教学意义和多元的育人价值，估算对发展学生的数学核心素养具有不可忽视的作用。

二、估算教学及其特点

（一）我国估算教学的历史

1963年，我国就将估算作为小学数学教学内容写进了《全日制小学算术教学大纲（草案）》。在2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中，“估算”一词出现了27次之多，估算教学被提到了前所未有的高度。《义务教育数学课程标准（2011年版）》将估算作为培养学生的数感、应用意识、运算能力和推理能力的重要途径和手段。

近二十年来，我国小学估算教学得到了快速发展。其在教材中的覆盖面不断扩大，编排也拾级而上；教师的估算教学意识和水平不断提高，教学方法和估算策略逐步走向多样化；学生的估算能力得到了一定提高，其思维的灵活性和独创性也得到了一定的发展；与估算相关的能力评价标准也在逐步探索和强化中。

（二）估算教学的内容

为了让学生感受“估”的意义，体验“估”的思想，学会“估”的方法，教材在呈现数的认识、数的运算、常见的量和测量、统计与概率等教学内容时，有意识地渗透“估”的意识和方法。

“数与代数”领域主要体现于数量估算、计算估算和测量估算。从20以内数的估一估、数一数到“一亿有多大”的实践活动，数量估算旨在让学生初步体验估算的作用，逐步渗透估算意识，提升数感，它是计算估算、测量估算的起点和基础。计算估算源于较大数的计算困难，渗透在实际问题情境中，落实到学生真实的生活情境中，如购物、乘车、安排座位等，旨在让学生提高问题解决能力和思维的深刻性、灵活性、独创性，体验数学的应用价值。测量估算融于对长度、质量、货币等相关度量单位的学习之初和运用之中，旨在让学生在测量估算时会用到对数量和计算的估算。

“图形与几何”领域主要体现于对图形周长、面积、体积等几何量的估测、估量等。旨在让学生通过估一估、算一算感受量的大小或多少，培养量感，并让学生在估测过程中与估数等经验进行对接，使学生对估算的认识更立体、更多元、更丰富。

“统计与概率”领域主要体现于对可能性的估计、预测等。可能性既可以体现于收集数据、处理数据、表现数据过程中的判断与推理，发展学生观察数据、分析数据、合情推理的能力当中，也可以体现于简单概率，引领学生体验问题答案的不确定性以及可能性的大小，初步体会概率的含义当中。

“综合与实践”领域主要体现于生活实践中的计划与安排等。“小小商店”“我们去春游”“上学时间”等活动都是带领学生综合运用其他内容领域中习得的方法或策略进行实践活动，以增强学生的估算意识，提高其估算技巧，在解决实际问题的过程中培养其数学应用能力和创新意识。

（三）估算教学的特点

1.多元目标指向素养的综合提升。估算教学可以培养学生善观察、会思考的能力，可以提高学生的生活能力，是提高学生计算正确率的基础，有助于提高学生的数学学习兴趣。此外，估算教学还有利于训练学生的思维，有益于学生对相应数学概念、知识的理解及其数感和思维的正确性、灵活性、敏捷性、独创性的培养。

2.丰富内容以穿插渗透的方式展开。各版本教材都依据各学段关于估算教学的课程目标和学生的数学学习规律、知识背景和活动经验合理地安排了估算内容，并要求教师通盘考虑、分步实施。以苏教版教材为例，例题和习题中与估算有关的内容共有113处，均围绕小学数学课程内容的核心与主线，将估算内容合理穿插其中，逐级递进，螺旋上升，做到了整体与局部的有机统一。

3.过程和结果都要关注开放与包容。教学估算时，往往需要选择学生熟悉的实际问题作为素材，借助知识积累或生活经验培养学生的估算意识，使其估算能力与估算意识同生共长。由于不同问题对估算的要求有所不同，不同主体对估算的理解也有所不同，因而估算过程相对于精算过程而言更加开放，估算过程的差异也会导致估算结果不尽相同。这就要求教师以一种包容的心态，引导学生既要重视估算过程中方法的选择与指导，尊重估算方法的差异性，鼓励估算方法的多样化，又要承认估算结果与精算结果不一致，让学生既体会到估算的简捷高效，又明晰在解决某些特定问题时估算的局限性，客观地处理好估算过程与结果的关系。

三、估算教学的育人价值

（一）能够满足学生现实生活的需要

随着信息技术的发展和计算工具的普及，人们的计算方式和观念都发生了很大改变。随之而来的就是基于现实情境对计算方法的选择和对计算结果的大致估计：一是学生在完成某项任务，如给同学分发糖果、设计黑板报、给礼品盒买包装纸时，可以先对糖果的数量、黑板的面积及其能容纳的字数、礼品盒的长宽高等做出粗略的初步估计，以确定其可行性；二是在计算器和计算机广泛使用的今天，大量繁杂的计算被工具所替代，但使用工具的人也需要对计算结果的合理性有一个估计，因而学生可以或者说需要在笔算前后用估算进行范围的估计或验证；三是日常生活中有很多实际问题不需要精确计算，有的是因为其小而估，如学生买东西时，往往会抹去零头估一估，有的是因为其大而估，如学生在学习“大数的认识”时，通过收集数据，会发现在一些大型的贸易往来和商品交易中，一些零头尾数往往就被忽略不计了。总之，通过估算教学，可以帮助学生逐步掌握自由地用一种非机械的方法去考虑问题，可以培养学生对结果有概括性、整体性的认识和理解。

（二）能够促进学生数学素养的发展

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》将估算纳入小学数学教学内容，与口算、计算并重。《义务教育数学课程标准（2011年版）》对估算的要求更加具体化：更关注估算背景与学生生活的实际关系，更强调估算对于培养数感、增强数学活动经验的作用，主张淡化估算的知识性，强调估算的方法与思想，尤其注重估算的实践功能。

具体而言，数量估算：在生活情境中感受大数的意义，并通过观察、画图、测量、类比、归纳等活动，在发现一些规律、猜测某些结论的过程中发展合情推理能力，培养数感，提高对事物的综合性和概括性的认知能力。

计算估算：根据具体情境判断是否选用估算来解决问题；能根据具体情境进行推理、猜测，并选择适当的估算方法来解决问题，感受方法的多样性与合理性；能对估算结果进行合理的判断和解释，体会估算的简便性和灵活性；体会估算在生活中的作用，增强数学活动经验，发展分析、判断、理性思考能力，发展可能性思维。

测量估算：依托单位表象、身体尺或参照物等估测生活中一些物体的长度、质量、时间等，在估计给定简单图形的面积、体积或用方格纸估计不规则图形的面积的活动中培养量感，提高灵活解决问题的能力，发展空间想象能力。

统计估算：结合具体的生活情境，运用统计思想，通过简单的实验数据收集验证猜想；能根据平均数的意义估计样本的范围；体验随机事件，初步感受概率和公平性；能理解运用随机抽样的方式估计总数的思想并能加以运用；能通过分析折线统计图的变化情况估计发展的趋势，发展基于数据分析的判断、推理能力。

由此可见，数学估算无所不在。它分布在数学学习的方方面面，潜浸在人类的数学思维过程中，应用于日常熟悉的生活中。