例谈在解题教学中提升学生数学核心素养的途径

党永生

【摘要】解题教学是数学教学必须经历的一个过程.在这一过程中，通过对概念的梳理、推理论证、语言转换、直观感知、正確运算、数据处理等，提升数学学科的六大核心素养[5].

【关键词】解题;提升;素养;途径

数学解题是一个创造性活动，它通过层层深入来解决问题.解题能力表现于发现问题、分析问题、解决问题的敏锐、洞察力与整体把握.解题教学是数学教学必须经历的一个过程.在这一过程中，提升学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养[6].

数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是学生在数学学习过程中逐步形成的[2].数学课堂是学生学习数学的主阵地，怎样在解题教学中培养和提升学生的数学核心素养呢？本文通过解题案例，谈谈如何在解题教学中提升学生的数学核心素养.

例题 （2018年全国高考数学卷Ⅱ理科第20题）如图1所示，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点.

（Ⅰ）证明：PO⊥平面ABC;

（Ⅱ）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值[7].

一、在理清概念、观察图形中提升学生的数学抽象、直观想象素养

数学抽象是指通过对数量关系和空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养;直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养[3].

在解题教学中，厘清概念就是数学抽象的过程，观察几何图形是发现和提出问题、分析问题和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路，进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础[4].

解法1 （Ⅰ）如图2所示，连接BO，由PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=22，得

AB2+BC2=AC2，△ABC是以B为直角顶点的直角三角形.

又O为AC的中点，由OA=OB=OC=2，

可得△POA≌△POB.

在△PAC中，PA=PC，O为AC的中点，得PO⊥AC，又有PO⊥OB.

又AC平面ABC，OB平面ABC，AC∩OB=O，故PO⊥平面ABC.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知PO⊥平面ABC，可得平面PAC⊥平面ABC，如图3所示，在平面ABC内作MN⊥AC，垂足为F，则MN⊥平面PAC，在平面PAC内作NF⊥AP，垂足为F，连接MF，则MF⊥AP.故∠MFN为二面角M-PA-C的平面角，即∠MFN=30°.

设MN=a，则NC=a，AN=4-a，在直角△AFN中，FN=32（4-a），在直角△MFN中，由a=32（4-a）tan30°，得a=43.

在△APC中，过N作NE∥PC，在△MFN中，过N作NG⊥FM，垂足为G，连接EG，在直角△GMN中，NG=32NM=233，因为NE∥PC，所以NE=NA=4-a=83.

由PA⊥平面FMN，可得平面PAM⊥FMN，交线为PM，在平面FMN内，由NG⊥FM，可得NG⊥平面PAM，则∠NEG为直线NE与平面PAM所成的角.设∠NEG=α，则sinα=NGNE=23383=34.

又NE∥PC，所以直线PC与平面PAM所成角的正弦值为34.

教学意图 引导学生通过线线垂直、线面垂直、面面垂直、线面角、面面角等概念的温习，以及对直观图形的观察分析、空间想象，体会数学对象的抽象和数学图形特征，建立形与数的关系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路，体验直观而具体的感受，提高学生抽象概括能力、直观想象能力.引导学生在概念应用中，通过观察、发现、猜想、归纳、直观感知，强化借助几何直观想象理解问题的意识，准确把握概念的结构与基本要素，提高学生的抽象概括能力和几何直观能力，提升数学抽象和直观想象素养[4].

二、在理性分析、公式运用中提升学生的逻辑推理、数学运算素养

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出其他命题的素养;数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养[3].

在解题教学中，通过对题目的理性分析，归纳、类比，或从特殊到一般，或从一般到特殊的逻辑推理，再合理运用恰当的公式，构建数学体系，体现数学的严谨性、科学性和规范性.

教学意图 引导学生通过线面关系的分析，让学生经历数学抽象过程，体会数学思维的严谨性、逻辑推理的严密性和推理论证的合理性，感受数学抽象过程的作用.让学生掌握和运用线面角公式，亲身体验数学公式的严谨性、普遍性和简约性，提高数学运算能力和解题能力，提升学生的逻辑推理和数学运算素养.

三、在语言表达、数量关系中提升学生的数学建模、数据分析素养[1]

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养;数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养[3].

在解题教学中，往往需要通过收集数据、整理数据、提取信息、构建模型进行分析推断，然后运用准确的数学语言表达，获得结论.

解法3 （Ⅰ）如图6所示，连接BO，由AB=BC=22，AC=4，得AB2+BC2=AC2，△ABC是以B为直角的等腰直角三角形.又PO=23，BO=AC=2，PB=4，所以PO⊥BO，又PO⊥AC，AC∩BO=O，所以PO⊥平面ABC.

教学意图 引导学生在准确的语言表达、规范书写、推理论证过程中，展现知识发生、发展动态过程，发现和提出问题、分析和解决问题.通过对数据的分析处理，发现AB2+BC2=AC2，PO2+BO2=PB2，由线线垂直得到线面垂直.让学生用文字语言、图形语言、符号语言描述和表达，实现文字语言、图形语言、符号语言之间的相互转换，在发现和提出问题、有逻辑地表达和交流过程中，增强学生的数学知识应用能力，养成通过数据思考问题的习惯，提升学生的数学建模和数据分析素养[4].

问题驱动是数学教学的一条基本原则，本例紧紧围绕线面垂直、线面角、二面角等问题，通过层层递进，一题多解，突出重点，突破难点.数学学科的六大素养，既有相互独立性，又有相互交融性，形成一个有机整体，是需要通过每一个数学教学活动去渗透和实现，需要我们积极主动去实践和探索.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]师轶.数学阅读在培养高中数学核心素养中的作用（上）[J].中小学课堂教学研究，2018（6）：9-15.

[3]孔凡哲.关于《高中数学课程标准（2017年版）》的理解分析[J].福建基础教育，2018（4）：8-12.

[4]陈未，向宪贵.践行核心素养 变革数学教学[J].上海中学数学，2018（10）：4-5+19.

[5]普通高中9大核心素养一览表[Z].

[6]罗增儒.核心素养与课堂研修[J].中学数学教学参考，2017（8）：14-20.

[7]孟囿弟，龚敏.2018年高考数学全国卷Ⅱ第20题研究[J].数学教学通讯，2019（1）：62-64.