在空间与图形领域培养学生的验证能力

黑龙江省哈尔滨市民生路小学校数学课题组 高瑛琦 马 晶 孙莎莎

如果说数学猜想的灵魂是创新，那么数学验证的核心就是创造。纵观数学发展史，一个个伟大的数学家攻克了一个个数学猜想，一次次推动着数学发展。在小学数学教学中，数学验证与数学猜想同样重要。顾汝佐先生说过这样一句话：学生学习数学是掌握前人创造的经验，通过相应的载体，让学生自己观察、操作、发现、实施。让学生去发现，去探索新知，提升数学素养。数学验证就是学生构建探究学习的过程。因此，在小学阶段数学教学中，就要培养学生的验证能力，让学生通过验证学习数学，在探究数学知识中培养验证能力。小学数学教材中的空间和图形领域是学生必须掌握的一个内容，在实际的教学中又怎样培养学生的验证能力呢？经过我们课题组老师的教学实践，实践课的老师通过自己的课堂实例来介绍在空间与图形领域如何提高学生的验证能力。

本学期科研课题小组马晶老针对《如何在空间与图形领域培养学生的验证能力》展开了研究，在教学《平行与垂直》一课时，对这节课说说她的思考。本节课马老师通过两个观测点进行了研究：1.验证在同一个平面内两条直线的位置关系。2.验证两条直线怎样能互相垂直。在验证两条直线位置关系的时候，学生通过动手操作画出了很多位置关系，比如：相交、互相平行、互相垂直，还有看上去没交上的关系，画的都没有问题，但是在验证的过程中就会摩擦出火花，学生往往会分很多类，如相交成x 型的一类，相交成T 型的一类，两条线的端点正好碰到成角的一类（有些是看似不相交实则相交的）等。接下来验证很重要，经过学生的思考，他们发现看似成角的一类，和没有交到一起的直线经过延长后会变成已经存在的位置关系，这样的验证让学生找出了两条直线的位置关系：平行、相交、重合（小学阶段不研究）。这些过程都是学生一点一点、一步一步发现并研究出来的。这种从发现到验证再到得出结论的过程，更能让孩子对新学的知识记忆犹新。在验证第二个观测点的时候，孩子们的思维更加活跃了，想出了不同的方法得出90 度的角，这些重大的发现孩子们是最大的受益者，我们的研究方法也得到了肯定。

高瑛琦老师在执教三年级上册“长方形和正方形的认识”一课时，一方面注意让学生通过实际操作获得丰富的感性经验，另一方面则是让学生通过自主探索获得对知识的理解。教学时，高老师根据学生的认知特点，在探索长方形、正方形的特征时，首先让学生通过观察猜想长方形和正方形的边、角的特征，然后提供学具（每组长方形、正方形纸片各一，大小不一），让学生自己想办法，通过量一量、折一折、比一比等方法去验证猜想是否正确。学生通过观察、操作、推理、交流等活动，经历了探索图形特征的过程，从而积累了数学实践经验和思维经验。

在练习环节，设计“猜一猜信封里装的是一个什么形状的四边形？”这既是一个进一步认识图形特征的练习，更是一个图形表象印刻的重要时机。由此，将其设计成一个连续的活动，先出示一个直角，再出示两个直角，最后出示第三个直角……让学生根据“角”和“边”的特点，从两个维度来不断缩小四边形的范围，知道最终判定结果。让学生经历概念内涵不断增加、外延不断缩小的图形形成过程，并在每次判断时让学生充分地表达自己判断的理由，在引导学生对各种四边形特征进一步认识的同时，借助了一个从形象上升到抽象，又从抽象转化为直观的“猜测——验证”过程，其数学思考价值是不言而喻的。

孙莎莎老师在教学四年级《平行四边形和梯形》一节课时，通过一系列的操作活动，让学生通过探究、交流、推理、验证归纳出平行四边形与梯形的特征，增强创新意识，进一步发展学生对“空间与图形”的兴趣，培养学生推理验证的能力。 平行四边形和梯形概念的建立，孙老师打破了传统的教学模式，设计了3 个环节来帮助学生认识、理解、归纳概念。

第一，先观察这两种图形有什么共同的特点，学生最先感知观察到的是“这两种图形都是四边形”；第二，学生通过观察进一步感知到这两组图形都有“对边平行”；第三，通过观察——学生动手验证——电脑验证不同形状平行四边形和梯形，得出结论：“平行四边形是两组对边分别平行”“梯形是只有一组对边平行”。在探究活动中学生直观地理解并归纳出平行四边形和梯形的概念。平行四边形和梯形概念的建立，我没有把现成的知识灌输给学生，而是让学生通过观察、发现、猜想、验证、归纳自主建构概念，变教师单纯地“教数学”为学生创造性地“学数学”。课堂上，孙老师充分体现学生的自主地位，释放学生想象的时间和空间，将学生的感性认识上升为理性认识，从而培养了学生在空间与图形领域的推理验证能力。

PPT 郑毓信教授在《新数学教育哲学》一书中的一段话，他指出：“任何一个数学学习活动都要以如何能在思想中实际建构相关的数学对象作为必要的前提”“如何能把新的知识纳入主体已有的知识体系之中，并使之真正成为整个知识体系的一个有机组成部分”。

张路娜在执教《平行四边形的面积》一课时，是以长方形面积计算为基础，以图形内在联系为线索，以未知转化为已知的基本方法开展学习。

本节课中，张老师针对以上情况设计了两个验证教学：1.验证底6，高3 的平行四边形和长6，宽3 的长方形的面积的关系。2.验证底6，斜边3 的平行四边形和长6，宽3 的长方形的面积关系。以格子图为辅助，以剪、平移等方法进行操作，进而建立平行四边形的面积的表象及正确的概念。

课上，学生通过先猜想，再验证，形成结论后再尝试应用于其他特殊或一般的平行四边形，最终形成定论。进而为后续三角形、梯形的面积计算奠定基础。

《数学课程标准》在“课程目标”里指出，空间与图形的数学思考目标是：“丰富对空间和图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。”显然，空间观念的培养是“空间与图形”学习的首要目标，而以此为载体，在空间与图形领域如何培养学生的验证能力，便成为我们课题组老师们认真思考、研究的课题。（参与撰写教师：孙胜涛，于勇，张路娜）