高中二次函数解题中数学思想的渗透

江苏省沭阳高级中学 舒捷安

数学思想是对各种特殊科学认识和研究方法的提炼与概括，是数学的灵魂与精神所在，而二次函数贯穿了整个高中数学学习的始终，是我们能够学好数学的关键。对二次函数问题的高效、准确解答是有效检验我们对二次函数知识掌握与运用程度的有效途径，所以说，加强数学思想在高中数学二次函数解题中的渗透显得尤为重要，能够提高我们的解题效率、优化二次函数学习效果。我结合学习和解题实践经验，从以下几个方面对如何实现高中二次函数解题中数学思想的渗透进行一番分析与论述。

一、渗透联想思想，求解二次函数不等式

联想思想是数学思想的基本内容之一，同时也是有效解决二次函数不等式问题的关键点。我们在二次函数不等式的解题过程之中，要注意仔细分析问题的内容和给出的条件，充分联想问题内容、已知条件和所求问题之间内在的关联性，并进一步利用已知条件来分析整个二次函数不等式的问题内容，分析和提炼题目中的有用信息，排除各种无用、干扰信息，并进行深入的联想和想象，从而实现二次函数不等式或者等式之间的联想转换，提高解题效率及准确率。

例如：函数f（x）=x2-2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充要条件是什么？解这道题时，我发现这道题的已知条件很少，所以我结合二次函数的图像进行联想分析， 因为二次函数f（x）=x2-2ax-3不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间（-∞，a]或[a，+∞）上是单调区间，而已知函数f（x）在区间[1，2]上存在反函数，所以[1，2] ⊆（-∞，a]或[1，2] ⊆[a，+∞），即a≤1或a≥2。

二、渗透对称思想，求解二次函数解析式

求解二次函数解析式是二次函数问题的基本形式之一，通常求解二次函数解析式会涉及二次函数图像，而对称思想在二次函数解析式问题中的渗透和应用能够实现数形的有效结合，巧妙解决数学难题。所以我们在面对求二次函数解析式问题时，要有意识地将对称思想渗透到解题过程当中，根据题目给出的要点和已知条件把握二次函数图像的性质、变化规律和特点，从而画出二次函数图像，实现抽象问题向直观图像的转化，从中把握知识点的变化情况，有效开阔解题思路，在对称思想的渗透下实现图形与数字的有效结合，最终快速解决数学问题。

例如：“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0 的两个实数根 x1，x2满足，且函数f（x）的图像关于直线x=x对称，证明。”在解这道题时，首先我对这道题阅

0读了两遍，虽然题干中没有给出相应的解题信息，但是我想到了二次函数的图像关于直线对称，所以，第一步我便过对已知条件进行转化，得出f（x）-x=ax2+（b-1）x+c。进一步分析题意，题干中给出“函数f（x）的图像关于直线x=x0对称”，而且f（x）-x=0的两个根 x1，x2满足，由此可得，且

三、渗透换元思想，求解二次函数的最值

最值问题是二次函数的基本题型，在这类题目当中，通常都会涉及复杂的等式或者元素，同学理解和解答起来有一定的困难。而换元思想主要体现为整体换元思想，是指将具有重复特征的部分等看作一个整体单元，将其替换为简单、数学的元素，从而完成等式或者不等式的简化。所以，我们在求解二次函数最值时，可以充分利用换元思想进行复杂算式的整体换元或替换，转换为我们所学过的简单函数，随后利用简单方程的解题方法，即可较为简便地得出函数范围，求出函数最值问题。

例如：求f（x）=-x2+4x+5（0≤x≤1）的最值。解这道题时，这道题是典型的二次函数求最值的问题，为了更加快速准确地解决问题，我采用了换元思想寻找解题思路，首先将f（x）=-x2+4x+5进行换元得到-（x2-4x+4）+9，化简成-（x-2）2+9，显然，x=2时，f（x）取最大值9是不对的，因为函数定义域为[0，1]。所以，x=0时，f（x）的最小值为5；x=1时，f（x）的最大值为8。

总而言之，知识是不断变化发展的，只有我们掌握了科学准确的学习方法和解题技巧，才能够灵活应对各种变化。所以，我们不仅要学习基本的数学知识，更要掌握本质的数学思想，吸收数学思想的精髓，并将换元思想、对称思想和联想思想等数学思想针对性地运用和渗透到二次函数问题的解题过程中，切实提高解题效率，保证解题的正确率，为将来的高考备战做好准备，也为未来走向社会做好铺垫。