数形结合在高中数学中的应用技巧

山东省泰安第一中学 夏宇轩

一、数形结合的内容

1.它是一种数学的思维办法，其中包括“用图形来辅助解决数学问题”和“用数学来辅助解决图形问题”两个层次：凭借图形的不同特性来讲述数与数之间的关系；用数的其他性质来解释图形的某些属性。

2.它可以互相转化，在转化过程中产生了很重要的影响，它是一个纽带，把代数和几何连接在一起，成为很重要的思维模式，也给了我们很多启示。

3.它是一种表示方法，可以描述很多数学观点，比如一个函数的变化规律。它也为我们提供了很多的解题办法，是一个重要的计算工具。

二、数形结合在高中数学中的应用例析

已知：有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别是P（-1，1），Q（2，2）。若直线l：x+my+m=O与有向线段PQ相交，求实数m的取值范围。

当直线l与那条直线相交的时候，由数形结合可以得出结论：与PQ平行时，直线l的斜率最小；当过M点时，斜率最大。

所以由几何关系可得kPQ＜kl＜kMQ，得，所以

探讨：当只有一个变量的时候，可以化为直线的另一种表示方式——两点式，此类题目一般情况下可以转化为求直线斜率范围的题目。

三、数形结合在方程部分的应用原则

（1）相同性原则。数与数之间能够相互转化的前提是必须是相似的，要不然问题会很难解出答案。因为图形涉及的方面比较有限，所以只能表现出很浅显的理解，要明白它能带来的缺点。（2）两边性原则，一定要顾全大局，既要对数进行分析，又要对图形进行探讨，要不然很容易得出错误的答案。（3）简单性原则，不应该为了“数形结合”而数形结合。第一，真正应用的时候，一定要预先想一想能否可行；第二，寻找简单的解决方法，运用它们能相互转化的特性，更好地解决出问题，对待不同的题目采取不同的运算方法。

四、数形结合在解决数学题过程中的应用技巧

1．数与形相互转换

①利用坐标系，化静为动，从而达到解题的目的。

②转化，通过数与形之间的特性，把思维转换一下，转到另一个角度，问题可能会变得很简单。

③建立、构造一个新概念的图形、函数等等。

2．应加强这种思维模式与高中数学的联系

相比低年级的数学问题，高中的数学会比较抽象，同学们会更难理解，这就需要同学们把问题和自己的生活联系起来。同时，高中教学方式需要同学习惯于用抽象的数学语言来解出真正的答案。例如，在我们初中所学的三角函数中加入数形结合这种思维模式，可以让同学们将各个方面的知识连接在一起，从而达到提升学习效能的目的。

3．运用数形结合思维来解决不同类型的问题

①“由图形转化为数字”，就是凭借题目中所给的图形，用自己的想象力提炼出图形中各种隐藏的信息，了解图形本身的特性，从而达到解决问题的目的。

②“由数字转化为图形”，由题目所给的各种信息来在自己的脑构造出一个符合该题目的图形，使这个图形能够很容易地表达出这个题目所要考查的知识点，体现出数与形之间的联系。

③“数形转换”，根据“数”与“形”之间具有对立性和统一性的特点，观察图形分析问题，引起自己的思考，在合适的情况下，将它们相互转换，并解出答案。

综上所述，数形结合这种思维方式用处很大，可以让同学更快地找出解决问题的捷径。把这种方法运用到课堂上，同学会更有热情，也会对以后在生活中解决各种问题提供不小的帮助。

高中的一些数学问题相比低年级需要更高的想象空间，这只靠老师讲解是不够的，而将数形结合这种思维模式传授给同学，可以让本来沉闷的学习环境变得更加活跃，还能减少老师的备课压力，另一方面，它还能激发出同学们的学习热情，让同学们的想象力、创造力得到更大的提升。

数形结合为高中生学习数学提供了最简单的解题道路，学生可以自己来探索、发现，并解决各种实际问题。它的本质就是将抽象的东西变得直观，让同学们能够更好地理解抽象的知识。

总之，教师可以通过各种各样的活动来让同学们体会到数形结合的好处，并让同学们解决一些简单的问题。运用数形结合这种方法，不能着急，否则会事倍功半，我们必须积累失败的经验和解题的各种问题，才会成功。