“整体思想”在初中数学解题中的应用

张亚峰

（江苏省泰州中学附属初级中学，江苏泰州 225300）

引 言

整体思想是指在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、整体特征进行综合考虑后得出结论的一种解题方法[1]。整体思想的主要表现形式有整体代入、整体换元、整体构造，其在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有着广泛的应用，正确地利用它来解题，可以达到事半功倍的效果。

一、在整式运算中的应用

A.7 B.18 C.12 D.9

解：因为3x2-4x+6=9，则所以

分析：如果直接代入计算，运算量非常大，观察已知条件的特点，考虑“整体代入”。

二、在方程中的应用

分析：本题若用一般方法，即先解方程组，再代入求值，将十分烦琐。仔细观察发现，若将两个方程直接相加，再化简，则很容易得出答案。

解：将两个方程相加，得3x+3y=15，所以x+y=5。

例6：甲、乙、丙三人参加数学竞赛，竞赛题目共有100道，每人都解出了60道，且每道题都至少有一人能解出。若将其中只有一个人能解出的题称为难题，将有两个人能解出的题称为中等题，将三个人都能解出的题称为容易题。试问：难题多还是容易题多？多的比少的多几道？

分析：设共有x道难题，y道容易题，z道中等题。

由于难题只有一个人能解出，所以三人共解难题x道；容易题有三人都能解出，所以三人共解容易题3y道；中等题有两个人能解出，所以共解中等题2z道。而本题有两个等量关系：（1）难题数+容易题数+中等题数=100；（2）3人共解题180道。

本题要求解出难题与容易题相差多少道，可将x-y看作一个整体，设法消去z。

解：根据题意得方程组：

①×2-②，得x-y=20

所以，难题比容易题多，多20道。

三、在几何计算中的应用

例7：如图1所示，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要_____米。

图1 坡角为30°的楼梯

分析：由于台阶的级数以及每一级台阶的长和高都未知，无法通过求每级台阶所需地毯的长度来求地毯的总长度。若从整体考虑：将每级台阶的高都平移到AC上，就可得知各级台阶高的和恰为AC的长。同样可得各级台阶长的和恰为BC的长。

例8：如图2所示，五个半径都是1的等圆⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE，则图中阴影部分的面积和是（ ）。

A. π B. 1.5π C. 2π D. 2.5π

图2 五个半径为1的等圆

分析：由于无法求出每个扇形圆心角的度数，从而不能得到各个扇形的面积，因此要将五个阴影部分作为整体来考虑。注意到五边形的内角和为540°，即五个扇形的圆心角和为540°，而各个扇形的半径也相等。

例9：如图3所示，等边△ABC中，BC=4，AD⊥BC，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）。

图3 等边三角形ABC

分析：不难看出，EFCΔ的面积等于EFBΔ的面积，可将图中阴影部分转变成一个整体，即ABDΔ的面积。

结 语

整体思想作为初中数学一种重要的思想方法，它能使复杂问题简单化。布鲁纳指出，掌握基本数学思想和方法能使数学更易于理解和记忆。数学思想方法是数学的精髓，只有领会了数学思想方法，用数学思想方法来武装自己，才能真正成为数学的主人。