一个新的多参数非齐次核Hilbert型积分不等式

刘琼

(邵阳学院 理学院，湖南 邵阳，422000)

为方便起见，设ϑ(x)>0为可测函数，ρ≥1，定义如下函数空间：

设f，g≥0，f，g∈L2(0，∞)，‖f‖2，‖g‖2>0，则有下列著名Hilbert不等式[1]：

(1)

(2)

(3)

本文引入多个参数，利用权函数方法，实分析技巧和拉普拉斯积分变换，建立一个核为

的多参数非齐次核Hilbert型积分不等式，考虑了它的等价式，证明了它们的常数因子是最佳的。

1 有关引理

则有

其中

(4)

证明：令βxy=u，则有

(5)

则有

(6)

(7)

证明：容易得到

C(α，β，γ)(1-o(1))(ε→0+)。

2 主要结果及应用

(8)

这里的常数因子C(α，β，γ)是最佳的，同式(4)。

证明：由Hölder不等式[14]和Fubini定理及引理1有

(9)

若式(8)中的常数因子C(α，β，γ)不是最佳的，则存在正数K

定理2 在与定理1相同的条件下，还能得到：

(10)

这里的常数因子Cp(α，β，γ)是最佳的，且式(10)和式(8)等价。

证明：令一有界可测函数

因为0<‖f‖p，φ<∞，故存在n0∈，使得置

当n≥n0时，由式(8)有

(11)

由(11)有

(12)

即有0<‖f‖p，φ<∞。 当n→∞时，由式(8)、式(11)和(12)仍保持严格不等号，故式(10)成立。

反之，由 Hölder 不等式有

上式即为式(8)，因此式(8)和式(10)等价。

若式(10)中的常数因子不是最佳的，则由式(10)得到式(8)的常数因子也不是最佳的，这与定理1已证过的结论矛盾，所以式(10)中的常数因子Cp(α，β，γ)是最佳值。

可以在式(8)和式(10)中选取一些特殊的参数，得到一些有意义的结果。 如：

(13)

于是，有下面推论：

(14)

(15)

在式(8)和式(10)中取γ=4，由式(4)、(13)和拉普拉斯积分变换的微分性质，有：

(16)

于是，有下面推论：

(17)

(18)

这里的常数因子

继续在式(14)、(15)和式(17)、(18)中取α，β一些的具体正值，可以得到相应的一些不等式。