换环下的绝对纯内射模

何东林,李煜彦

(陇南师范高等专科学校 数信学院,甘肃 陇南,742500)

内射模是同调代数的重要研究对象之一，具有很好的性质。许多作者对其进行了研究和推广。1959年P.M.Cohn在文献[1]中提出了纯内射模的概念。1967年Maddox在文献[2]中将其推广，给出了绝对纯内射模的概念和性质。1973年Fakhruddin等人在文献[3]中研究了纯内射模和绝对纯内射模。2008年Katherine Pinzon 在文献[4]中讨论了绝对纯内射覆盖。2017年王丽等人在文献[5]中进一步研究了换环下的强n-Ding 投射模和内射模。文章中主要学习和讨论换环下绝对纯内射模的性质和等价刻画。文中的R均指有单位元的结合环，模指酉模。用R-mod表示所有左R-模组成的范畴。其余概念和记号详见文献[6]～[10]。先介绍绝对纯内射模的概念。

1 定义和引理

定义1[2]称左R-模M是绝对纯内射模，如果对任意有限表示模R-模A，都有

引理1[6]设模SBR既是投射右-R模，又是投射左S-模。则对任意左R-模A与左S-模C有

引理2[7]若模M是有限生成投射R-模，则S-1M是有限生成投射S-1M-模。

引理3[7]如果R-模序列M′→M→M″在M处正合，则序列S-1M′→S-1M→S-1M″在S-1M处也正合。

2 主要结论

命题1 设R,S是等价环，等价函子为F：R-mod→S-mod和G：S-mod→R-mod。

则M是绝对纯内射左R-模⟺F(M)绝对纯内射左S-模。

定理1 设S是R的优越扩张。若模RM是绝对纯内射左R-模，则HomR(S,M)是绝对纯内射左S-模。

因此HomR(S,M)是绝对纯内射左S-模。

例1 设R是环且n≥1。则环R上的n×n矩阵环Mn(R)是R的优越扩张，从而对任意M∈Mn(R)-mod，如果模RM是绝对纯内射左R-模，那么HomR(Mn(R),M)是绝对纯内射左Mn(R)-模。

推论1 设R是交换环，S是R-代数。如果模RM是绝对纯内射R-模，那么HomR(S,M)是绝对纯内射S-模。

下面讨论局部化下的绝对纯内射模。

定理2 设R是交换环，S是R上可乘闭集。如果S-1M是投射左R-模，则

1)如果模RM是绝对纯内射R-模，那么HomR(S-1R,M)是绝对纯内射左S-1R-模。

2)对任意左R-模M，HomR(S-1R,M)是绝对纯内射左R-模当且仅当HomR(S-1R,M)是绝对纯内射左S-1R-模。

证明 1)设RM是绝对纯内射R-模。对任意有限表示左S-1R-模A，A也是有限表示左R-模。由引理1知

因此，HomR(S-1R,M)是绝对纯内射左R-模。