关注模型教学 拓展解题方法

顾友梅

[摘   要]在中考试题中，挖掘古老数学问题的价值，运用古老问题解决新问题的情形频频出现.如费马点问题、折弦定理、杨辉三角和胡不归问题等.这些问题，如果学生平时没有训练，在考试时就会有一定的难度.因而，在平时的教学中，教师必须对这些模型进行归纳与总结，发现其中的解题规律，使学生加强模型识别，在一模多变的问题中提高学生分析与解决问题的能力.

[关键词]模型;胡不归问题;解题方法

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）35-0004-02

“胡不归问题”来自一个古老的传说.话说一个在A地当学徒的小伙子得知家乡（B地）的父亲病危的消息，便往家赶.根据“两点之间，线段最短”的线段性质，他选择了全是沙砾的直线路径AB，当小伙子回到家时，他父亲刚刚去世，好心的邻居给小伙子讲，老人在临终前口里不断地说着“胡不归？胡不归？……”邻居问小伙子：“你为什么不先走一段驿道呢？”如图1所示，小伙子如果沿AP[→]PB的路径行走，虽然路程长了，但在驿道上行走速度比较快.那么小伙子把点P选在驿道的何处，才能节省时间呢？这就是著名的“胡不归问题”.

此问题可以抽象出这样一个数学问题：设小伙子在驿道、沙砾中行走的速度分别为a、b（a>b），则他折线行走的总时间为[t=APa+BPb=1b（BP+baAP）] .由于两个速度是定值，欲求t的最小值，就是求[BP+baAP]的最小值.这里需要将[baAP]替换为一条线段.如图2，可以作射線AN，使[sin∠NAP=ba]，然后过点P作PF⊥AN，所以PF=[baAP]，于是[t=1b（BP+PF）]，求[BP+PF]的最小值.根据“垂线段最短”可以过点B作AN的垂线段交AC于点P′，则点P′就是所求作的点.

这里“胡不归问题”就是求“[PA+kPB（0

一、三角形中的“胡不归问题”

三角形中的“胡不归问题”是指一动点在三角形中的一条折线上运动，且在第一条线段上运动速度为每秒1个单位长度，在另一条线段上运动速度不为每秒1个单位长度，求动点的最短运动时间.方法就是将系数不为1的线段转化为系数为1的线段，然后利用“垂线段最短”的性质求解.

[例1]如图3，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高AO，点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD[→]DC运动，到达点C停止，动点P在AD上运动速度为3个单位每秒，动点P在CD上运动速度为1个单位每秒，则当AD=                      时，运动时间最短.

解析：如图4，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′.∵运动时间[t=AD3+CD1=AD3+CD]，∵AB=AC，AO⊥BC，∴BO=OC=1，∵∠DAH=∠BAO，∠DHA=∠AOB=90°，∴△AHD∽△AOB，∴[ADAB=DHOB]，∴[DH=13AD]，∴[13AD+CD=CD+DH]，∴当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短，∵OA=[32-12=22]，

[12BC·AO=12AB·CM]，∴[CM=423]，∴[AM=AC2-CM2=73]，∵AD′=3MD′.设MD′=m，则AD′=3m，则有9m2-m2 [=499]，∴[m=7212]或[-7212]（舍弃），∴AD′[=724]，故答案为[724].

评注：要正确解答本题，不仅要利用“胡不归问题”的几何模型进行转化，而且要注意利用勾股定理、等腰三角形的性质进行计算.

二、四边形中的“胡不归问题”

四边形中的“胡不归问题”是指在四边形中有一动点，此动点在对角线上或到四边形一个顶点的距离为定值，求它到另一顶点的距离与它到第三顶点距离的k倍的和的最小值.这里也可以通过构造相似三角形将k倍的线段转化一条线段，再利用“两点之间，线段最短”得到三点共线时有最值，从而求解.

[例2]如图5，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，求[13]AP+PC的最小值.

解析：如图6，在AB上截取BF=1，连接PF，PC，∵AB=9，PB=3，BF=1，∴[PBAB=13=BFBP]，且∠ABP=∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴[FPAP=BPAB=13]，∴PF= [13]AP，∴[13]AP+PC=PF+PC，∴当点F，P，C三点共线时，[13] AP+PC的值最小，∴CF= [BF2+BC2] = [1+49]= [52]，∴[13]AP+PC的最小值为[52].

评注：本题中系数不为1的线段中的系数k决定了构造相似三角形的相似比.若系数k是[14]，就构造一个相似比为[14]的相似三角形;若系数k是[22]，可构造等腰直角三角形;若系数k是[12]，就构造一个含30°的直角三角形.

三、圆中的“胡不归问题”

圆中的“胡不归问题”是指动点在圆周上运动，求动点到一定点的距离与动点到另一定点距离k倍的和的最小值.这里仍需构造相似三角形，将k倍的距离转化为一条线段，然后利用“两点之间，线段最短”求得最值.

[例3]如图7，扇形COD中，O为圆心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是[CD]上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程.

解析：如图8，延长OC，使CF=4，连接BF，OP，PF，过点F作FM⊥OD于点M，∵OC=4，FC=4，∴FO=8，且OP=4，OA=2，∴[OAOP=12=OPOF]，且∠AOP=∠AOP，∴△AOP∽△POF，∴[APPF=OAOP=12]，∴PF=2AP，∴2PA+PB=PF+PB，∴当点F， P， B三点共线时，2AP+PB的值最小.∵∠COD=120°，∴∠FOM=60°，且FO=8，FM⊥OM，∴OM=4，FM=4[3]，∴MB=OM+OB=4+3=7.∴FB=[FM2+MB2]=[97].∴2PA+PB的最小值为[97] .

评注：本题与上例比较，相同点都是动点在圆周上运动，不同点是k倍的距离中的k，一个是分数，一个整数，它们在作辅助线时分别采用了截取与延长的方法.但都是在k倍距离的一侧构造相似三角形，这一点是相通的.

（责任编辑 黄桂坚）