关注函数的最值（值域）常考类型

方佳佳

[摘   要]分析函数的最值（值域）常考类型并提出其解决策略，以帮助学生突破难点，逐步提升解题能力.

[关键词]函数;最值;值域;类型

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）35-0002-02

函數的最值（值域）是近年高考中的必考点，一般以选择题或填空题的形式出现，难度中等.求解函数的最值（值域）问题时，往往需要灵活运用函数图像与性质（主要是单调性）加以分析，有时还会涉及基本不等式的灵活运用.

常考类型一、根据函数的解析式，求函数的值域

由函数的解析式求函数的值域是一类常见且较为简单的问题，常用方法：遇到二次函数求值域利用配方法;遇到熟悉的指数函数、对数函数、幂函数或者能够确定单调性的函数，求值域利用函数的单调性法.破解此类题的关键点为：

①分析函数结构.求解函数的值域时，需要先厘清函数的结构特点，如分析其是指数形式的复合函数，还是对数形式的复合函数，或者是二次函数形式的复合函数等.

②灵活选用方法.结合函数的结构特点，灵活选用解题方法，如与指数、对数函数紧密联系起来的，选用函数的单调性法;与二次函数紧密联系起来的，选用配方法.

[典例1]函数[y=log12x+1x]的值域是（        ）.

A. [（-∞，-1]]                B. [（-∞，0]]

C. [[-1，+∞）]                D. [[0，+∞）]

分析：本题需要先利用基本不等式求[x+1x]的取值范围，再灵活运用对数函数[f（x）=log12x]的单调性加以求解.

解：由[x+1x>0]可得函数的定义域为[（0，+∞）]，所以由基本不等式得[x+1x≥2]，当且仅当[x=1]时，等号成立.又[f（x）=log12x]在其定义域内是减函数，所以可得[y=log12x+1x≤log122=-1].故函数的值域为[（-∞  ，-1]] .故选A.

评注：一般地，求解函数的值域时，应优先考虑函数的定义域;否则，极易出错.例如，求解如下问题.

已知[f（x）=2+log3x] [（1≤x≤9）]，则函数[y=[f（x）]2+f（x2）]的最大值是（        ）.

A. [6]             B. [13]            C. [22]         D. [23]

本题极易忽略准确求解新函数的定义域，而根据1[≤x≤9]，得到函数最大值为22，导致错选C.正确解答：由[1≤x≤9，1≤x2≤9，]得新函数的定义域为[x1≤x≤3]，则[0≤log3x≤1]，又整理得y = [[fx]2]+ f （x2）= [（log3x+3）2]-3，所以函数y的最大值为[13].故选B.

常考类型二、根据函数的最值，求参数的取值范围

对于“由函数的最值，求参数的取值范围”这类问题，往往需要根据函数的单调性、图像，先分析最值情景，再构建不等关系加以求解.破解此类题的关键点为：

①分析最值情景.具体问题中，一般需要根据相关函数的单调性或图像，以便准确分析当自变量取何值时函数取得的最值.

②构建不等关系.根据题设所给最值，并结合最值情景，通过构建不等关系，准确求解参数的取值范围.

[典例2] 已知函数[f（x）=（x-a）2，x≤0x+1x+a，x>0]，若[f（0）]是函数[f（x）]的最小值，则实数[a]的取值范围是（       ）.

A.[[-1，2]]           B.[[-1，0]]          C.[[1，2]]          D.[[0，2]]

分析：本题需要分[a<0，a=0，a>0]三种情况加以讨论;在每种情况下，可利用函数的单调性或图像加以分析，最后整体总结，即可获得所求参数的取值范围.

解析：当[a<0]时，根据[f（x）]在[[a，0]]上是增加的，可知[f（0）]不是函数[f（x）]的最小值，所以[a<0]不满足题意;当[a=0]时，若[x>0]，则[f（x）=x+1x≥2];若[x≤0]，则[f（x）=x2≥0]，所以[f（0）] 是函数[f（x）]的最小值，所以[a=0]满足题意;当[a>0]时，如图1所示，画出函数[f（x）]的大致图像，由已知“[f（0）]是函数[f（x）]的最小值”，可知[a2≤2+a]，又[a>0]，从而解得[0

评注：本题具有一定的综合性，侧重考查了分段函数的图像与性质，也考查了“分类与整合思想”“数形结合思想”在解题中的灵活运用，较好地培养了考生数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.