一元三次函数的探究及应用

蔡娟

[摘   要]一元三次函数问题是近年高考命题的一个热点.深入研究一元三次函数的特殊性质非常重要，能有利于教师从理论上指导学生解题实践.

[关键词]一元三次函数;探究;应用

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）35-0011-02

加强对一元三次函数的图像与性质的研究，可厘清一元三次函数的内在规律，有利于教师从理论上指导学生的解题实践.

一、借助导数，探究一元三次函数的特性

一元三次函数[f（x）=ax3+bx2+cx+da≠0]的导函数为[f '（x）=3ax2+2bx+c]，方程[f '（x）=0]的判别式[Δ=4b2-12ac].当[Δ>0]时，设二次方程[f '（x）=0]的两根为[x1，x2]（其中[x1

1.探究一元三次函數的单调性

先研究[a>0]时的情形.①当[Δ<0]时，因为[f '（x）>0x∈R]，所以[f（x）]在[R]上单调递增;②当[Δ=0]时，因为[f '（x）>0x≠-b3a]，又因为函数[f（x）]在点[x=-b3a]处连续，所以函数[f（x）]在[R]上单调递增;③当[Δ>0]时，易知随[x]变化，[f '（x）]及[f（x）]的变化情况如表1.

接下来，再研究[a<0]时的情形.①当[Δ<0]时，因为[f '（x）<0x∈R]，所以[f（x）]在[R]上单调递减;②当[Δ=0]时，因为[f '（x）<0x≠-b3a]，又因为[f（x）]在点[x=-b3a]处连续，所以[f（x）]在[R]上单调递减;③当[Δ>0]时，易知随[x]变化，[f '（x）]及[f（x）]的变化情况如表2 .

综上，易知一元三次函数[f（x）=ax3+bx2+cx+da≠0]在[R]上递增[?a>0Δ≤0];在[R]上递减[?a<0Δ≤0];有极大、极小值[?Δ>0].

2.探究一元三次函数的图像

在明确单调性的基础上，我们可迅速作出函数[f（x）]的大致图像（若运用几何画板软件，则可作出较为准确的图像）.当[a>0]时，若[Δ>0]，如图1;若[Δ≤0]，如图2.当[a<0]时，若[Δ>0]，如图3;若[Δ≤0]，如图4.

3.探究一元三次函数的对称中心（即“拐点”）

先给出函数的“拐点”定义：设[f ′（x）（x）]是[y=f（x）]的导函数，[f ″（x）]是[f ′（x）]的导函数，如果方程[f ″（x）=0]有实数解[x0]，那么点[（x0 ，  f（x0））]就是函数[y=f（x）]的拐点.

进一步探究可知，任何一个一元三次函数[f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）]都有“拐点”，且该“拐点”就是这个一元三次函数的对称中心.

二、应用一元三次函数的特性解题

1.根据一元三次函数的图像特征，求解开区间上的最值问题

[例1]已知一元三次函数[f（x）=x3-3x2+1]在[（a2-16，a）]上有最大值，求实数[a]的取值范围.

解析：因为[f 'x=3x2-6x=3xx-2]，所以令[f 'x>0]，则[x<0]或[x>2];令[f 'x<0]，则[0

2.根据三次函数的零点特征，求解函数零点唯一问题

[例2]已知函数[f（x）=ax3-3x2+1]，若[f（x）]存在唯一的零点[x0]，且[x0>0]，则[a]的取值范围是（）.

A. [（2，+∞）]         B. [（1，+∞）]

C. [（-∞，-2）]       D. [（-∞，-1）]

解析：易知[a≠0]，所以[f（x）]为一元三次函数.因为[f '（x）=3ax2-6x=3x（ax-2）]，所以方程[f '（x）=0]的根为[x1=0，x2=2a] .如图6所示，画出函数[f（x）]的大致图像，结合题意可知[a<0 ，f2a>0 ，]即[a<0，8a2-3×4a2+1>0 ，]

解得[a<-2].故选C.

3.根据三次函数的极值特征，求解满足的条件

[例3]下列条件中，使得一元三次方程[x3+ax+b=0]（a，b均为实数）有且仅有一个实根的是 .

①[a=-3，b=-3];②[a=-3，b=2];③[a=-3，b>2];④[a=0，b=2];⑤[a=1，b=2].

解析：设函数[f（x）=x3+ax+b]，则[f '（x）=3x2+a]，对应[Δ=-12a].当[a=-3]时，由[Δ>0]结合函数[f（x）]的图像，易知两个极值点为[x=±1].对于①，由[f（-1）=-1<0， f（1）=-5<0]，可知方程[f（x）=0]有且仅有一个实根;对于②，由[f（-1）=4>0， f（1）=0]，可知方程[f（x）=0]只有两个实根;对于③，由[f（-1）=2+b>0]，[f（1）=b-2>0]，可知方程[f（x）=0]有且仅有一个实根.

当[a=0]或[a=1]时，由[Δ≤0]可知函数[f（x）]在[R]上单调递增，显然方程[f（x）=0]有且仅有一个实根.

综上，所有正确条件的编号是：①③④⑤.

4.根据三次函数的对称中心巧解题

[例4]已知函数[f（x）=13x3-12x2+3x-512]，请根据函数[f（x）]的对称中心，计算[f12019+f22019+f32019+f42019+…+f20182019]的值.

解析：因为[f ′（x）=x2-x+3]，所以[f ″（x）=2x-1]，所以由[f ″（x）=0]，即[2x-1=0]，解得[x=12].又[f12=13×123-12×122+3×12-512=1]，所以函数[f（x）]的对称中心为[12 ，1] .于是，可得[f12+x+f12-x=2]，即[f（x）+f（1-x）=2].

从而 [f12019+f20182019=2]， [f22019+f20172019=2]， [f32019+f20162019=2]，…， [f10092019+f10102019=2].

故所求式的值为[1009×2=2018].

总之，应用一元三次函数的图像与性质，有利于学生灵活分析、解决一元三次函数的相关问题，进一步提升学生直观想象、数学运算的数学核心素养.

（责任编辑 黄桂坚）