构造函数法在不等式中的应用

卢岱

【摘要】不等式问题的求解或证明是高中数学中的一个重要内容，能够培养学生的联想思维和多种技巧.本文立足于高中数学的学习与探究，针对许多复杂的不等式问题，构造新的函数，通过对新函数的单调性研究获得问题的解决方法，从而展示了构造函数法在不等式中的应用.

【关键词】不等式;构造函数;单调性

一、引 言

不等式是高中数学学习的重点和难点.对于一些简单的不等式问题，传统的解题方法有比较法、综合法、数学归纳法、分析法、重要不等式法等.对于比较难或者抽象的不等式问题，传统方法具有局限性.但是，不等式灵活多变的求解及证明过程，也是有规律可循的.事实上，任何不等式都可以表示为

也就是说，不等式问题实际上就是一个求极值（最值）问题.我们知道，极值问题的求解可以依照以下几个步骤实现：

1.求导数f′（x）.

2.研究导数的符号，求得函数的单调性.

3.研究导数的零点，判断函数的极值点.

4.求出最值点.

因此，通过把不等式适当变形，再构造适当的函数，通过对其导数的研究，获得函数的单调性、凹凸性、极值、最值，常能使不等式问题获得简捷明了的解决方法.

利用构造法解决不等式问题的步骤一般为：（1）对不等式进行合理变形，进而构造一个或多个函数;（2）利用导数研究函数的单调性;（3）得出不等式结论.其中，如何构造函数是关键，也是难点.本文总结了几类构造函数的方法，并通过实例得出了规律性的认识，具有较强的针对性和实效性.

二、不等式问题中构造函数的几种方法

三、结 论

不等式问题是中学数学一个重要的知识点，证明的方法多种多样.针对不同的类型合理地构造函数，将其导数作为一种研究工具，利用相关的理论，会将灵活多变的不等式问题变得更加简单.

通过以上例题，我们体会到，不论采用哪种方法构造函数，都需要在解题时细心观察与分析，类比联想与变形转化，自主探究与自我反思，尽量使所构造的函数容易求导、容易判断函数的符号.

【参考文献】

[1]竺寶林.例谈导数视角下“构造函数证明不等式问题”的解决策略[J].中国数学教学，2018（3）：45-48.

[2]贺建勋.例谈构造函数证明不等式[J].中国数学教学参考，2017（4）：36-38.

[3]常显贞.构造法在不等式证明中的应用[J].教学与管理，1992（5）：34-35.

[4]蓝云波.也谈构造函数、利用导数解答不等式恒成立问题[J].中学数学研究，2016（5）：31-33.

[5]武增明.构造函数证明不等式的数学思维途径[J].中学数学研究，2018（12）：21-22.