利用AM-GM不等式巧解2018课标Ⅰ卷理第16及20题

福建省南平市高级中学 (353000)

江智如 李寿滨

随着2018年高考的结束，全国数学课标Ⅰ卷也掀开了神秘的面纱．纵观课标Ⅰ文理全卷，试卷严格遵循考试大纲的要求，符合新课标的课程理念，有效地将数学文化与数学应用高度融合，充分考查考生的数学核心素养．试题结构稳中有变，难易适度，有较好的区分度，不仅有利于高校的人才选拔，又有利于高中数学教学与素质教育的顺利开展，有效促进高中数学新课程改革的不断深化和推进．其中课标Ⅰ卷理科第16与20题是三角与概率背景下的最值问题，让人眼前一亮，切入点多，可利用多种方法进行求解，本文探讨利用AM-GM不等式进行求解．

1.AM-GM不等式

在人教A版的必修五中介绍二元的AM-GM不等式，然后在选修4-5中进一步推广到n元形式的AM-GM不等式，即：

对于n个正数ak,k∈*且k≤n，则有当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立．记忆口诀为：“一正，二定，三等号”．

2.试题呈现

题1 (2018年课标卷Ⅰ理16)已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是．

评析：试题以考生熟悉的三角函数入手，呈现方式也是考生所熟悉．考生比较容易考虑利用导数进行求解，但计算过程较复杂，需要考生具有扎实的基础知识与运算能力．而根据AM-GM不等式的特点，把f(x)进行适当的变换，可快速解答，体现区分度，考查考生分析问题和解决问题的基本能力，体现中学数学素质教育的本质，促进数学素养的提高．

题2 (2018年课标卷Ⅰ理20)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件．每一箱产品在交付用户之前要对产品作检查．如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0

(Ⅰ)记20件产品恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；

(Ⅱ)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(Ⅰ)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格产品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

(ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否对这箱余下的所有产品作检验？

(ⅱ)若继续对余下的产品进行检验，则检验费用为2×200=400

评析：本试题考查二项分布的基础知识、基本思想和方法．第(Ⅰ)问根据二项分布的定义,容易得到f(p)，考生可以利用导数求最值的方法进行求解，很好地考查考生的数据处理与分析、应用能力；此时若考虑从AM-GM不等式入手，可以减轻考生的计算负担，提高作答的时效性与准确性，有助于考生在紧张的考试中正常发挥，并能提高考生逻辑推理与数学运算的数学素养．

3.解题感悟

AM-GM不等式是高中阶段重要的不等式之一，在日常的学习过程中，可引导学生从不等式的“形”方面入手，也就是“一正，二定，三等号”，然后根据已知条件进行应用，解决问题．能有效地提高学生学习数学的兴趣，实现课程标准的教学目的，促进学生数学素养的提高．