把题置于数学课程的体系中

季凤茂

摘 要：数学的教和学离不开题，我们不应该孤立地看题，需要把题置于数学课程体系中。透过题的表象看到问题的本质，让学生从感性的认识上升到理性的认识。每道题都是散点状的，教师应该由点到线，由线成面，由面构体，使学生的知识结构化。教学过程中，不能仅仅满足于解决一道题，关键是能运用习得的策略创造性地解决新的问题。

关键词：本质；结构；运用

数学的教和数学的学离不开题目，但是题只是一个例子，是教和学的素材。我们应该把题置于整个课程体系中，通过题让学生掌握数学方法、体验数学策略、感悟数学思想，并能运用这些方法去解决新的问题。谈祥柏说：“好题应该具有召唤灵感的作用，如果受到这类题的熏陶，就必然潜移默化，人也变得越来越聪明。”在六年级复习平均数问题时有这样一道经典题：一辆车从甲地开往乙地，每小时行60千米，从乙地返回甲地每小时行40千米。这辆车往返的平均速度是多少？从一位教师的教学过程中可看出这位教师所站的高度和视域的广度，很有启示。

一、从现象到本质

数学学习是本质和现象的对立统一，透过现象把握本质是教学的目的，让学生从感性的认识上升到理性的认识。

1. 错误解法

错误解法的背后都是有原因的，教学中需要智慧运用错误的资源。这道题要求的是平均速度，根据常见的数量关系，平均速度应等于总路程除以总时间。这道题没有总路程，也没有总时间，只有往和返的平均速度，由于条件的限制，学生无法直接从数量关系入手，列式解答，大多数学生都形成了错误解法：（60+40）÷2=50（千米/时）。教学过程中教师根据学生的错误去寻找背后的原因。学生的错误解法其实是有自己的“依据”的，这种错误的解法实际上是一种负迁移。例如，“张叔叔第一天植树60棵，第二天植树40棵，平均每天植树多少棵？”这道题的解法就是：（60+40）÷2=50（棵）。

2. 错因辨析

朱乐平说：“我们想引领学生到我们想让他去的地方，那必须首先知道学生现在到底在哪里。”教师教学过程中，没有简单地对学生的解法进行否定，而是让学生充分暴露自己的思维，引导学生进行辨析：求平均速度和求平均棵数有什么不同？在求平均棵数的题中，60棵对应的天数和40棵对应的天数是相同的，平均数的本质就是移多补少，所以可以用（60+40）÷2=50（棵）；而在求平均速度的题中，60千米和40千米对应的小时数是不一样的，所以不能用（60+40）÷2=50（千米/时）。在辨析的基础上，教师把数学问题和学生的生活联系起来，以便深化学生的认识。如“班上男同学的平均身高是1.6米，女同学的平均身高是1.4米，那全班同学的身高是1.5米吗？”

3. 正解探究

学生对错误的解法有了认识，这并不表示学生就能正确地解决该问题。教师在学生已有认识的基础上，抛出一个问题：“同学们一定在想，如果这道题再告诉我们什么条件，问题就可以解决了？”学生提出两类想法：一是如果告诉我们往返的时间，我们就可以解决问题；二是如果告诉我们总路程也可以解决问题。学生很自然想到了假设策略的运用，通过探究后学生发现，如果假设往返的时间，那么需要假设两个量；如果假设总路程，那么只需要假设一个量。

二、从散点到结构

教学应该是一个由点到线，由线成面，由面构体的过程，不宜孤立、片面看待学生出现的问题。

1. 变与不变

在运用假设策略解决问题的过程中，不同的学生假设的总路程并不相同，可以假设总路程为120千米、240千米……总路程为任意一个不是0的数量，不管总路程是多少，平均速度总是不变的。在这里蕴涵着变与不变的哲学思想。其实，变与不变是一种现象，但是为什么路程变了，而平均速度是始终不变的呢？这是理解的难点，而只有真正理解了，学生的认识才能得到升华。针对学生的迷惘，教师组织学生进行讨论，通过讨论，学生发现总路程240千米和总路程120千米进行比较，实际上就是相当于走了两次，如果总路程是360千米的话就可以看作同样的运动进行了第三次，所以不管总路程如何变化，平均速度总是不变的。还可以运用商不变的规律来说明这种现象，总路程（被除数）和时间（除数）同时乘或者除以一个相同的数，速度（商）是不变的。

2. 算法多样

同样的策略，但解决问题的方法不一定相同。在这里可以假设总路程为一个具体的数量，如120、360等；还可以用字母来表示未知的总路程，如把总路程设为x。这样求平均速度的算式是2x÷（x÷60+x÷40），化简以后得出：2x÷（x÷60+x÷40）=2x÷[x×（1÷60+1÷40）]=2x÷x÷（1÷60+1÷40）=2÷（1/60+1/40）=48（千米/时）。通过不同算法的比较辨析可以进一步验证平均速度和总路程是无关的。除了用假设的方法以外，还可以用工程问题的思路来解决，把总路程看作单位“1”。算法的多样培养了学生的灵活性思维，在多样化的基础上再将算法优化。

3. 智慧变式

数学的教与学离不开做题，但机械地做题不利于培养学生的创新能力，因此解决问题的过程中需要变式。变式指向的是非本质属性，而不是本质属性。“變”是一种动态的过程，题的形式发生了变化，但是解决问题需要运用的知识点和方法策略并没有改变，让学生在“变”中发现“不变”。教学过程中，教师先是改变了题中的数据，然后再改变了情境：“张叔叔进行户外爬山运动，上山每小时行6千米，下山沿原路返回每小时行8千米。张叔叔上山和下山的平均速度是多少？”这样的变式便于学生更好地掌握。

三、从掌握到运用

掌握和运用是学习结果的不同表达水平，运用是在掌握的基础上选择或者创造新的方法去解决问题。

1. 策略意识

所有解决问题的过程都是综合运用策略的过程，因此教师教的过程就是培养学生策略意识的过程，学生学的过程也是学生形成策略意识的过程。策略意识是策略掌握的前提。实际教学过程中，学生的策略运用往往具有随意性，对策略的选择缺少灵敏的嗅觉和捕捉能力。策略的运用往往是给予的，而不是生长的。教学中，教师注意激发学生的认知冲突，激活知识基础和学习经验，形成策略运用的需要。使假设的策略成为学生的一种体验和概括，提升对假设策略的价值认识。

2. 迁移意识

学习不是让学生搬运、套用和机械模仿，而是应该让学生运用已有知识、方法、策略解决新的问题。教师在变式练习时，安排了这样一道题：“一批零件，张师傅单独加工需要8小时完成，王师傅单独加工需要10小时完成。如果两人同时加工，需要几小时完成？”这本是一道工程问题，现教材已经不再单独研究。其实这道题和出示的样例中的情境相似，结构也相近，有着内在的联系，可以用习得的策略解决。在此基础上学生反思，运用假设的策略还解决过什么问题，这些问题都有什么共同的特征。

3. 诊断意识

“诊断”一词，在教学上是指对学生以及学生的学习过程进行观察，并做出判断，既包括教师对学生的诊断，也包括学生的自我诊断。诊断不仅仅局限于课堂上，还应包括学习前和学习后的诊断。教学前，根据教师对学生基础知识和学习状态的了解，教师已经预计学生会发生这样的典型错误，并对典型错误形成相应的对策。诊断的目的是基于诊断做出更科学有效的教学设计。教学后，需要对课堂状态不断分析、开发、放大、提高，避免形成机械思维，从而激发学生再发现、再创新。