几何直观：构建“可视化”的数学教学

张晓芳

摘 要：几何直观是学生解决数学问题的一种策略，也是学生解决问题的一种能力。在数学教学中，教师要引领学生进行直观表征、直观明理、直观思考和直观梳理，从而构建“可视化”的数学教学。在这个过程中，培养学生直观想象、直观推理和直观概括能力。

关键词：几何直观；可视化；数学教学

所谓“可视化教学”，就是运用图形、动作或者媒体设备，将抽象的数学内容直观展现出来的一种教学方式。运用“几何直观”，能够构建可视化的数学教学。《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，“几何直观主要是利用图形描述和分析问题”。换言之，几何直观可以将复杂问题变得简明、形象，有助于催生学生的问题解决策略。可以这样说，几何直观不仅存在于“图形与几何”教学中，对“数与代数”“统计与概率”“综合与实践”领域的学习都发挥着重要作用。

一、直观表征：让问题触手可及

德国著名数学家希尔伯特在其著作《直观几何》中认为：“图形可以帮助我们发现、描述研究的问题，可以帮助我们寻求解决问题的思路，可以帮助我们理解和记忆得到的结果。”在数学学习中，我们发现学生审题常常会出现偏差，不能抓住题目的关键条件，由此导致学生的数学理解出现障碍。波利亚说，“图形是一种重要的帮手”。借助直观的图形，能够帮助学生更好地理解题意，客观地描述数学问题，让学生获得对数学的深度理解。

比如，教学《用两步连乘解决实际问题》（苏教版小学数学三年级下册），有这样一道思维拓展题：一捆电线，工人师傅第一周用去全长的一半多25米，这时还剩下45米。这捆电线原来有多少米？在解决这样的有一定思维难度的问题时，学生如果不借助几何直观，是很难形成清晰的解决问题思路的。为此，笔者引导学生用线段画“示意图”，还原题目中的条件。（如图1）

通过线段图，学生能够清晰地看到工人师傅用去全长一半后所剩电线长度，进而又会发现这一部分电线也就是这捆电线的长度的一半。这时，对应思想（一半对应70米）在学生心中悄然建立。几何直观，让数学问题变得触手可及。

法国著名数学家笛卡尔说，“没有图形就没有思考”；而另一位数学家斯蒂恩则这样说，“如果一个特定的问题可以转化为一个图像，那么就整体地把握了问题”。学生由于年龄和心理特征的影响，对问题感知程度低，认识模糊、思路不清。借助几何直观，学生能够对问题进行直观表征，从而精准地解决问题。

二、直观明理：让本质有迹可循

著名数学家华罗庚说，“形缺数时难入微，数缺形时少直观”。借助于几何直观，不仅可以让抽象的数学问题变得直观，而且可以让抽象的数学算法、算理直观地展现出来。所谓“数形结合”，就是要让学生借助“形”的直观来研究“数”的特征，从而让数学知识的本质变得有迹可循。教学中，教师要搭建思维支架，建构算理、算法、算律三位一体的认知结构。

比如，教学苏教版三年级下册的《两位数乘两位数》例题3，幼儿园购进12箱迷你南瓜，每箱24个。一共有多少个？教材在引导学生交流算理时，主要是让学生借助生活经验，先算2箱是多少个，再算10箱是多少个。其根本目的是导引出“竖式计算”，让学生理解竖式计算的算理。但在这个过程中，学生的理解是肤浅的。他们不知道为什么需要将12箱分成2箱和10箱，难道这样“分”就是为了竖式计算？笔者在教学中，引导学生从“数形结合”的角度进行探究。学生借助“长方形图”展开研究，画出了如图2所示的直观示意图。

有学生归纳，计算12个24，可以先算2个24，再算6组；也可以先算3个24，再算4组；还可以先算4个24，再算3组……这些都是等分的方法。还可以将12个24分成2个24和10个24，或者3个24和9个24，或者4个24和8个24……这些都是不等分的方法。据此，学生经过交流、讨论认为，在不等分方法中，将12个24拆分成10个24和2个24比较简便，因为可以得到整十数。这样的学习，不仅让学生“知其然”，更让学生“知其所以然”。学生“理法通融”，自然就能深刻掌握竖式计算形式，学生的数学学习就会如同呼吸一样自然。

有了几何直观，学生就能把抽象的算法具体化，就能从具体中进行抽象。这是一种直观明理，只有将抽象的算法和直观的算理联通起来，学生才能真正理解数学。基于学生的认知心理，引领学生通过画直观图表达自己的见解，同时也便于彼此相互启发，在启发中创新。

三、直观引思：让思维动态展现

学生几何直观的形成需要一个过程。在小学阶段，教师应该引导学生依托图形进行导学、创构，培养学生几何直观能力。一方面，要利用教材中已有的图，指导学生看图、读图、用图，借助图，实现言语与表象的相互转化；另一方面，要引导学生自己创图、构图，让学生掌握画图方法，习得画图技能。通过图形直观，让学生的数学思维动态展现，从而发展和提升学生的数学思维，将学生的数学思维引向深入。

比如教学苏教版小学数学六年级下册的《解决问题的策略——转化》，笔者引用了经典名题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四句话的意思是：把鸡和兔关在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚。鸡和兔各有多少只？鸡兔同笼问题蕴含着多种解决问题的策略。在教学中，笔者让学生用“列举法”“画图法”“假设法”等解决问题，发展学生的数学探究能力。在探究的过程中，筆者要求学生将自己的思维过程用图表示出来。由此产生了多样化的有趣的图，如“增足法”“砍足法”（有点残忍）等。有一位学生，别出心裁地画出了长方形图，巧妙地解决了问题。他用两个长方形的长分别表示每只鸡和每只兔的脚数，宽分别表示它们的只数，用长方形的面积表示鸡和兔脚的总只数。（如图3）借助下面的图形直观，学生将自身的思维可视化。

由于每只兔的脚数是每只鸡的脚数的2倍，所以下面的长方形的长是上面长方形的长的2倍。这样，这位学生将上面这幅图又转化成了下面这幅图，如图4。借助图形直观，让自身的思维动态展现。

转化后的长方形一目了然，面积是94（94只脚），长是2（2只脚），所以宽就是94÷2=47（只）。这47只脚就是鸡和兔的总只数再加上兔的只数。所以移动过来的长方形的宽，也就是兔的总只数就是47-35=12只。这样，鸡的总只数也就是35-12=23只。

正是由于笔者让学生画图，也由于学生在画图的时候不拘一格，才诞生了如此美妙的、创新的解决问题的方法。几何直观将学生的内隐思维可视化，更为可喜的是，在这位学生的启发下，班上的另一位学生也用这一幅长方形图，形成了另一种拼法，也成功解决了问题。在这样的相互启发中，学生深度体验到几何直观的力量。

四、直观梳理：让结构形象搭建

几何直观的意义在于引导学生形成各种直观的概念意象、表象。在数学教学中，教师可以引导学生进行直观梳理，让知识结构形象搭建。常见的梳理方式可以借助集合图、韦恩图等。通过直观梳理，厘清概念的种属关系。在这个过程中，教师可以引导学生进行直观联想，培养学生直观想象、直观推理和直观概括能力。

比如教学《三角形的面积》和《梯形的面积》（苏教版小学数学五年级上册）后，笔者在触摸一体机的白板上画下了梯形，然后拖动梯形的上底，将其演变成三角形。这时，再次启发学生，三角形的面积可以看成什么？学生若有所悟：当梯形上底为0时，梯形的面积就是三角形的面积；据此，有学生认为，当梯形的上下底相等时，梯形的面积就是平行四边形的面积；有学生认为，当梯形上下底相等并且有一个角是直角时，梯形的面积就是长方形的面积；还有学生认为，当梯形的上下底和高相等时，梯形的面积就是正方形的面积，等等。在几何直观中，学生进行了公式梳理，将数学知识结构形象地搭建。

借助几何直观，小学平面图形的面积公式得以沟通、得以统一，这让学生深刻体验到数学知识是相互联系的一个结构性整体。正是借助几何直观，引发了学生的空间想象力，拓展了学生的幾何直观思维空间，培育了学生的创新精神和实践能力。在这个过程中，教师有时要借助多媒体课件，这样可以动态地呈现图形的演变过程，拓展学生的视野，启迪学生的思路。

几何直观不仅是学生学习数学的一种方法，也是学生学习数学的一种能力。几何直观不仅能让抽象的数学知识形象化、直观化，而且能让学生的内隐思维可视化。在数学教学中，教师要根据数学知识的特质和学生的心理特点，直观假设从抽象到直观的桥梁，让学生对问题进行直观表征，对算理进行直观描述，对知识进行直观思考，对结构进行直观梳理。如此，学生穿梭于直观图形与抽象知识之间，提高了学生解决数学问题的能力，发展了学生的数学核心素养！