关注数列“姊妹题” 体验精彩“无极限”

薛映红

(河南省郑州市《中学生学习报》社有限公司 450000)

本文给出以下几组关于数列“姊妹题”的具体解析过程，以切实帮助读者提高分析、解决数列问题的实际能力，进一步拓宽思维视野.

【第一组“姊妹题”】

例1 (1)已知知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq，且a2=-6，那么a10等于( ).

A.-165 B.-33 C.-30 D.-21

(2)已知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap·aq，且a3=-8，那么a10等于( ).

A.256 B.1024 C.-256 D.-1024

解析 (1)取p=n∈N*,q=1，则有an+1=an+a1⟹an+1-an=a1，∴数列{an}是等差数列，其首项是a1，公差也是a1.又取p=q=1得a2=a1+a1，而a2=-6，∴a1=-3.从而a10=a1+9a1=10a1=-30，故选C.

评注 这两问求解的关键都在于通过灵活地赋值，认清数列{an}的特性，并加以充分运用.

【第二组“姊妹题”】

评注 第(1)问求解的关键在于，综合考虑根与系数的关系及等差数列的特性(当正整数n+m=p+q时，对于等差数列{an}有an+am=ap+aq)，巧设对应的两个二次方程的根；第(2)问求解的关键在于，综合考虑根与系数的关系及等比数列的特性(当正整数n+m=p+q时，对于等比数列{an}有an·am=ap·aq)，巧设对应的两个二次方程的根.

【第三组“姊妹题”】

A.3nB.n2+2nC.3n2D.3n

(2)在等比数列{an}中，a1=2，前n项和为Sn.若数列{an+1}也是等比数列，则Sn等于( ).

A.2n+1-2 B.3n-1 C.2nD.3n-1

解析 (1)∵{an}是等差数列，∴an+1+an-1=2an(n≥2).

【第四组“姊妹题”】

故选A.

解析二 (简捷解法)(1)由于目标是求比值，于是可设S3=1，则S6=3.∵易知S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9构成等差数列，∴1,2,S9-3,S12-S9构成等差数列.

(2)由于目标是求比值，于是可设S4=1，则S8=4.∵S4≠0，∴易知S4,S8-S4,S12-S8构成等比数列，∴1,3,S12-S8构成等比数列.

评注 (1)设等差数列{an}(公差为d)的前n项和为Sn，则连续k项和，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…也构成等差数列(公差为k2d)；(2)设等比数列{an}(公比为q)的前n项和为Sn，若Sk≠0，则连续k项和，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…也构成等比数列(公比为qk).

【第五组“姊妹题”】

【第六组“姊妹题”】

例6 已知在数列{an}中，相邻两项an,an+1是方程x2+3nx+bn=0的两个根，若a10=-17，求b51.

∵由(1)得an+1+an+2=-3(n+1)， (3)

∴由(3)-(1)得an+2-an=-3，∴易知数列a1,a3,a5,…,a2n-1和a2,a4,a6,…,a2n都是以-3为公差的等差数列.

又由(1)及a10=-17得a11=-30-a10=-13.

于是，a51=a11+(26-6)×(-3)=-13-60=-73，a52=a10+(26-5)×(-3)=-17-63=-80.故由(2)得所求b51=a51·a52=-73×(-80)=5840.

评注 这种解法的切入点是以“作差”的方式活用递推式.在等差数列a1,a3,a5,…,a2n-1中，a51是第26项，a11是第6项；在等差数列a2,a4,a6,…,a2n中，a52是第26项，a10是第5项.

评注 这种解法的切入点是通过适当变形，产生一个新数列的相邻两项之和为常数.一般地，若an+an+1=t(t为常数)，则数列{an}是以2为周期的周期数列，即所有奇数项相同，所有偶数项也相同.

例7 已知在数列{an}中，相邻两项an,an+1是方程x2+bnx+3n=0的两个根，若a3=27，求b10.

∵由(2)得an+1·an+2=3n+1， (3)∴由(3)÷(2)得∴易知数列a2,a4,a6,…,a2n和a1,a3,a5,…,a2n-1都是以3为公比的等比数列.

于是，a10=a4·35-2=1×27=27，a11=a3·36-2=27×81=2187.故由(1)得所求b10=-(a10+a11)=-(27+2187)=-2214.

评注 这种解法的切入点是以“作商”的方式活用递推式.在等比数列a2,a4,a6,…,a2n中，a10是第5项，a4是第2项；在等比数列a1,a3,a5,…,a2n-1中，a11是第6项，a3是第2项.

于是，数列{cn}是以2为周期的周期数列.

故由(1)得所求b10=-(a10+a11)=-(27+2187)=-2214.

评注 这种解法的切入点是通过适当变形，产生一个新数列的相邻两项之积为非零常数.一般地，若an·an+1=t(t为非零常数)，则数列{an}是以2为周期的周期数列，即所有奇数项相同，所有偶数项也相同.

综上，只要我们善于运用“类比思想”去做进一步的归纳、探究，那么我相信关注数列“姊妹题”， 一定会体验到其中的精彩“无极限”！