图中无圆，心中构圆

李昌刚

圆的内容是初中数学的重要组成部分，学好这章知识将有助于学生高中继续学习椭圆、圆等有关知识，但在实际课堂教学中，很多教师不重视这一章的教学内容，没有去挖掘圆的旋转不变性与对称性的特征，使学生在解答中考压轴题时，不懂得根据题意巧妙构造出辅助圆将一般问题转化成特殊问题加以解决.

其实，在数学教学过程中常常需要借助于圆的性质，问题才能得以解决，而我们需要的圆并不存在，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，化未知为已知，将不熟悉的图形转化为熟悉图形，这实际上体现数学上转化与化归的思想方法，笔者结合近几年初三中考数学压轴题的教学实践，谈几点构造辅助圆的策略，以期抛砖引玉.

1 根据圆的定义，构造圆

根据定义、定理（或公理），构造基本图形解决问题是添加辅助线最为基本的方法，圆有运动性定义和集合性定义两种，我们可根据实际问题从两种定义的不同特点入手进行构造.

1.1 根据运动性定义构造圆

圆的运动性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，因此若一道问题中出现旋转变化这一条件时，我们就可以考虑构造以旋转中心为圆心的圆，将问题转化成与圆有关问题进行研究.

例1 如图1，已知AABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，作正方形DEFG，使点A， C分别在DG和DE上，连接AE， BG.若BC= DE=m，将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度α（0°<α<360°）过程中，当AE为最大值时，求AF的值.

分析 将正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，E点运动的图形是以点D为圆心，DE为半径的圆，将正方形绕点D逆时针旋转270°，即当AE过圆心D时，AE最大，利用勾股定理求出AF即可解决问题，

解 ∵正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，E点运动的图形是以点D為圆心，DE为半径的圆，则正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°，即A，D，E在一条直线上时，AE最大时，如图2.

本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆中最长问题等知识，解题关键是根据条件“旋转360°”确定点E的运动轨迹，学会求圆内一点到圆的最长距离，是中考常见题型.

1.2 依据圆的集合定义，构造圆

圆的集合定义：圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合，其中定点为圆心，定长为半径，由此对于题目中出现一些点与定点的距离都等于定长时，我们就可考虑构造一个以定点为圆心定长为半径的圆，将所要研究的问题转化成圆的问题.

例2 （2017年福州市期末质检）如图3，C为线段AB上一点，分别以AC， BC为边在AB的同侧作等边AHAC与等边ADCB，连接DH.现将图中ADCB绕点C顺时针旋转一定角度α（0°<α< 90°），如图4，点C关于直线DH的对称点为E，求证：CE平分∠AEB.

分析本题由对称性得到HC= HE，进而得出A，C E三点到H距离都相等，从而构造以H为圆心，HA为半径的圆（如图5），根据圆的性质得到∠AEC=1/2∠A∥C=30°，同理可得∠BEC=1/2∠ BDC=30°（两次构造圆也是本题的一大难点），最后得出EC平分∠AEB.

此题的关键是作辅助圆，将分散的条件集中，然后灵活应用圆周角定理及等边三角形等知识来解答，两次构造圆是本题的一大难点.

2 依据圆的有关性质，构造圆

圆的性质主要集中在圆心（或周）角、弧、弦（或直径）等对象之间的相互关系上，因此在解决有关角、线之间的问题时，我们可考虑添加辅助圆，把问题转化为圆的问题，借助圆的性质来解决.

2.1 依据圆周角动而不变性质，构造圆

定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半;同弧所对的圆周角相等.

这些角具有其大小不变，顶点位置改变的性质，根据这一特性，我们可以用来构造相等角.

分析 此题要进行适当的转化，构造△ABC的外接圆，根据圆周角定理可知：抛物线对称轴与OE的交点就是题目要求的点P，那么只需求出圆心E的坐标和圆的半径即可得到点P的坐标，由对称轴及点A，B的坐标可确定点F的坐标及AF的长，由此可确定该中垂线的解析式，而弦BC的垂直平分线过点E，进一步可确定点E的坐标;最后由勾股定理得AE长，最后求出点P的坐标.

分析 （1）将原点坐标代入解析式求得m的值;

（2）此题根据直径所对的圆周角为直角，构造以AB为直径的圆，通过直线与圆的交点确定b的取值范围，当直线与圆在第一象限相切时，此时b的值

本题考查直线与圆的位置关系，圆周角定理的推论，锐角三角形函数等知识，解题的关键是由直角联想到构造辅助圆.

2.3 依据四点共圆情况构造圆

在平面几何问题中有着四点共圆的条件大约有4种情况：第一种，若四个点到同一点的距离相等，则这四点共圆;第二种，两个直角三角形共斜边，则这两个直角三角形的各顶点在同一个圆上（如图8）;第三种：若两个三角形有一条公共边，且它们所对的角在这条边的同侧且相等，则这两个三角形共圆（如图9）;第四种，若四边形的对角互补或者它的任意一个外角都等于它的内对角，则这四点共圆（如图10）.如果能够发现以上4种情况构造圆，则可帮助我们把直线型问题转化为圆的问题，利用圆的有关性质，得到些新思路与解法.

本题的关键是构造辅助圆，将分散的条件集中，把角进行合理转换，然后结合矩形及相似三角形的判定与性质进行分析解答.

总之，在平时的教学中，我们要做到“图中无圆，心中有圆”，认真分析题意找出题目中所隐含着圆的旋转不变性与对称性的特征，巧妙地构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果！从而达到高效解题的目的.

参考文献

[1]罗增儒.中学数学解题的理论与实践[M].南宁：广西教育出版社， 2008

[2]王国兵.巧作辅助圆解题[J].初中数学教与学，2013 （15）：13—15

[3]孙卫荣.例谈中考试题中的辅助圆[J].初中数学教与学，2016 （1）：32-34