对一道课本例题的逆向探究

孙承雄

1 原题呈现

人教A版《数学》（选修2-1）第70页有这样一道例题（例5）：过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线BD平行于抛物线的对称轴.

2 逆向探究

如果把例题的条件、结论调换，那么得到它的逆命题是否仍为真命题呢？经过仔细的探究，本文给出了肯定的回答，

性质1 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点D在抛物线的准线上，若直线BD平行于抛物线的对称轴，则直线AD经过原点O.

3 拓展延伸

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，对抛物线成立的结论是否同样适用于椭圆和双曲线呢？经过深入的研究，得到了下面的结果，

性质2 过椭圆焦点F的直线交椭圆于A，B两点，点D在焦点F对应的准线上，若直线BD平行于椭圆的对称轴，则直线AD经过定点（该定点是准线与对称轴的交点和焦点F的中点坐標）.

当曲线变为双曲线时，采用同样的方法，也可以得到下面的结论：

性质3 过双曲线焦点F的直线交双曲线于A，B两点，点D在焦点F对应的准线上，若直线BD平行于双曲线的对称轴，则直线AD经过定点（该定点是准线与对称轴的交点和焦点F的中点坐标）.

4 一般性的结论

通过上面的讨论，我们可以得出，圆锥曲线中与焦点、准线有关的一般性的性质：过圆锥曲线焦点F的直线交圆锥曲线于A，B两点，点D在焦点F对应的准线上，若直线BD平行于圆锥曲线的对称轴，则直线AD经过定点（该定点是准线与对称轴的交点和焦点F的中点坐标）.