巧用转化思想，发展思维能力

谢秀慧

【摘 要】随着课程改革的不断深入与反思，小学数学教育不仅继承了注重“双基”的传统，而且更重要的是提出了使学生理解和掌握“基本的数学思想和方法”，获得“基本的数学活动经验”。作为小学数学教师，要巧用转化思想，发展学生思维能力。

【关键词】转化；思想方法；发展；思维能力

数学思想方法是人们在建立数学理论或解决数学问题时所用到的一些思想方法。可以说数学思想方法产生数学知识，而数学知识又蕴载着数学思想方法，二者相辅相成，密不可分。正是数学知识与数学思想方法的这种辩证统一性，决定了我们在传授数学知识的同时必须重视数学思想方法的教学。

转化思想方法是数学最基本的思想方法之一，是把待解决的问题从一种形式转化为另一种形式，使人较易于解决。以下结合自己的教育教学实践活动浅谈对这方面的认识。

一、特殊化转化思想方法

有的数学问题所要求的结论，在一般情况下不容易推导出来，但在特殊情况下非常容易解决，并且在很多时候，特殊情况对一般情况的解决有奠基或桥梁的作用，因此，把一般问题转化为其特殊问题，常有助于问题的解决。运用特殊化转化思想解决一般性问题的关键在于能否找到一个或几个最佳的特殊问题。

将此例推广到其它问题的解决，从中让我们明白：特殊情形相对于一般情形而言比较简单、直观和具体，且易于找到解题途径或思路，发展学生的思维。因此，特殊化思想是探索一般性问题解题途径的重要思想之一。

二、一般化转化思想方法

当我们遇到某些特殊问题感到很难解决时，不妨适当放宽条件或改变一些条件的限制，把待处理的特殊问题放在一个更广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再把解决一般情形的技巧、方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想。

例如：一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16把，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有60条，那么有几把椅子和几条凳子？此类题目老师们很熟悉，有人把它称为“鸡兔同笼”的变型。对此题孩子们感到很难解决，到底是几把椅子和几条凳子才同时符合两个特定条件呢？教学中以常见的“四条腿的椅子、三条腿的凳子”简单背景为研究素材，转化为一般情况“如果椅子和凳子各8把，腿数合起来是56条，这样总腿数少了，说明四条腿的椅子少了……”通过学生的观察、猜想、实验，发现“每减少一把椅子就要增加一条凳子，腿的总数就要减少4-3=1。”学生在一般情形下尝试不断地归纳出此题的特殊规律，抽象出数学模型，并在此基础上推广到其他同类问题的研究中。

学生经历了观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动，得出数学结论。经历了数学化的学习过程，体会并感悟到从特殊到一般的数学转化思想方法，积累数学活动经验，为后续学习数学做好充分的准备。

三、变换转化思想方法

人们在解决问题时，对未解决的问题进行一系列变换，将它逐步转化为已知的问题，达到化繁为简、化难为易的目的，这种用来指导解题的思想就是变换转化思想。利用变换转化思想解题的关键有两个：一个是“变什么”，即确定变换的对象；另一个是“怎样变”，即确定采用什么样的变换。

在教学求圆柱体的表面积时，学生要先明白圆柱的表面积包括两个底面积和一个侧面积。两个底面积就是两个圆的面积。而侧面积是一个曲面，通过学生的思考与实践，把圆柱的侧面展开后就是一个长方形，把求曲面的面积转化为已学过的长方形的面积，达到了化繁为简、化难为易的目的，发展学生的思维能力，这就是变换转化思想的优点。

四、对应转化思想方法

对应思想是人类最早期、最容易掌握的一种思维方式。早期我们的祖先就是用一一对应来判断物品的数量和多少。发展到今天人们利用对应思想来解决各种问题，因此，对应思想不仅是一种重要的数学思想，而且是人类最早掌握、最普遍使用的一种思想方法。

例如：有36人参加象棋淘汰比赛，两人一组，胜者进入下一轮比赛，败者直接淘汰，如果遇到某一轮的选手为单数，则令其中一名选手直接进入下一轮比赛。如此下去，最后决出冠军，一共要进行多少场比赛？学生可能会这样进行计算：第一轮36人分成18组，进行18场比赛；第二轮18人分成9组，进行9场比赛；第三轮9人，一人轮空，分成4组，进行4场比赛；第四轮5人，一人轮空，分成2组，进行2场比赛；第五轮3人，一人轮空，分成1组，进行1场比赛；第六轮2人进行一场比赛决出冠军。因此，总的比赛场次是：18+9+4+2+1+1=35。这种算法虽然也可以解决问题，但这是一种不太高明的算法。我们设想一下，当参赛的选手更多时，计算就更麻烦了。数学家利用对应转化思想方法，轻松地解决了这个问题。因为每一场比赛都会淘汰一名选手，反之每一名被淘汰的选手在唯一的一场比赛中被淘汰。因此，被淘汰的选手的集合与比赛场次的集合之间可以建立一一对应的关系。假设最初有n名选手参加比赛，不管n是多少，最后只有1名冠军，其余的n-1名选手均被淘汰，所以恰好要进行n-1场比赛。这一种解法无须任何计算，而且具有更深刻更本质的意义。

又如：德国数学家高斯在很小的时候，有一次老师给同学们出了一道算术题：1+2+3+4+5+……+98+97+98+99+100=？当同学们还没理清头绪时，高斯已经说出了答案。高斯的方法是：设S=1+2+3+4+……+97+98+99+100，S=100+99+98+97+……+4+3+2+1，高斯把1和100相加，2和99相加，……最后100和1相加，它们的和都是101，因此2S的和是100个101，所以S=（100×101）÷2=5050。高斯求和方法的妙处，就在于它将集合A={1，2，3，……，100}与A本身元素之间进行了合理的配对，即建立的A到A的一一对应，这一对应使得每一对原象与象之和都等于101，从而把加法运算转化为乘法运算，大大地简化了求和的运算过程。

由此两例可见，对应转化思想在优化、简化解题方法方面有着重要的作用，学生的思维能力将更上一个新的水平。

五、数形结合转化思想方法

数学思想方法的滲透是发展学生智力、培养学生思维能力、提高学生数学素养的一把金钥匙。转化思想方法只是小学数学教学中的众多思想方法的一种，教师要广泛学习，钻研教材，相互切磋，提炼精华。只有这样，对学生的数学素养的培养才能更有效、更全面。

【参考文献】

[1]刘兼，孙晓天.数学课程标准解读[M].北京师范大学出版社，2002

[2]欧阳维诚等.初等数学思想方法选讲[M].湖南教育出版社