一道高考不等式题引发的研究性学习①

赵思林 王 佩

(内江师范学院数学与信息科学学院 641112)

2017年高考数学全国卷Ⅱ理科第23题是一道具有数学探究价值的不等式题，对该题多角度的思路分析与探究能够激活发散思维，对该题的推广可以培养问题意识并激发创新思维，对该题从解题思路分析与探究、问题的拓展与推广等角度思考可引发如下的研究性学习．

1 试题介绍与评注

2017年高考数学全国卷Ⅱ理科第23题是：

已知a>0,b>0，a3+b3=2，证明：

(1)(a+b)(a5+b5)≥4；

(2)a+b≤2．

评注：此题形式对称，结构简单，给人以优美的感受．该题背景深刻，思路宽、解法多，能够激发思考和探究的欲望．因此，该题是一道研究性学习的好问题．第(2)问是一个经典的题目．

2 解题思路的分析与探究

2.1 第(1)问的思路分析与探究

分析与探究1证明不等式最常用方法是求差法．考虑到不等式的左边是6次式，右边是0次式(即常数项)，若用求差法，则需将右边的0次式变成6次式．因此，有

(a+b)(a5+b5)-(a3+b3)2

=a5b+ab5-2a3b3

=ab(a2-b2)2

≥0，

等号成立当且仅当a=b．(注：以下不再说明等号成立的条件)

故(a+b)(a5+b5)≥4．

(a+b)(a5+b5)≥4

⟺(a+b)(a5+b5)≥(a3+b3)2

(说明：左右两边次数相同，同除以b6并通过整体代换将问题化为一元问题)

⟺(t+1)(t5+1)≥(t3+1)2

(说明：这就化为一元问题了)

⟺t5+t≥2t3

⟺t4+1≥2t2.

最后这个不等式是显然成立的，故原不等式获证．

评注：数学问题解决的本质是化归与转化，本方法通过“非齐次化齐次”、“多元化一元”，使问题简洁获解，其思维策略及方法具有普适性，值得体会与借鉴．

分析与探究3考虑到不等式的左边比较复杂，可考虑从左边下手．

(a+b)(a5+b5)=a6+b6+a5b+ab5

=(a3+b3)2-2a3b3+a5b+ab5

=4，

故(a+b)(a5+b5)≥4．

分析与探究4考虑用柯西不等式

因为a>0，b>0，则由柯西不等式，得

2.2 第(2)问的思路分析与探究

分析与探究1考虑从结论下手．由于条件a3+b3=2的左边是3次式，待证结论a+b≤2的左边是1次式，可考虑把1次式变成3次式．注意到a+b>0，则有

(a+b)3-8=(a+b)3-4(a3+b3)

=3a2b+3ab2-3a3-3b3

=3a2(b-a)+3b2(a-b)

=3(a-b)(b2-a2)

=-3(a-b)2(a+b)

≤0，

等号成立当且仅当a=b=1．(注：以下不再说明等号成立的条件)

即(a+b)3≤8.

又因为a>0,b>0，所以a+b>0，

故a+b≤2.

因为a>0,b>0，所以a+b>0，从而有

2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)

所以(a+b)3≤8，故a+b≤2．

分析与探究3考虑用反证法．

假设a+b>2，则a>2-b．注意到，函数y=x3在(-∞,+∞)上是增函数，则有a3>(2-b)3，此即a3>8-12b+6b2-b3．

又由a3+b3=2，则0>6-12b+6b2，

即0>6(1-b)2，矛盾.

故a+b≤2．

评注：由a>2-b推出a3>(2-b)3，需要以“函数y=x3在(-∞,+∞)上是增函数”为依据,否则，是不严谨的．

因为a>0,b>0，

所以，a+b=a·1·1+b·1·1

评注：若去掉条件“a>0,b>0”，则本解法就不能用了．

分析与探究6注意到，待证不等式a+b≤2中有两数之和a+b的结构，可考虑构造两数之积ab的结构，从而可构造一元二次方程，利用判别式法．由

2=(a+b)(a2+b2-ab)

令a+b=m，ab=n，则由a3+b3=2，得

2=(a+b)(a2+b2-ab)=m(m2-3n)，

又显然有m2+2m+4=(m+1)2+3>0，

故a+b≤2．

评注：此解法表明，对于第(2)问，条件a>0，b>0是多余的．命题者给出条件a>0，b>0的意图可能有二：一是可以降低试题的难度，二是让本问的解答更具多样性．

分析与探究7采用消元法．

评注：用消元法把问题变成一元函数，就可用导数这个工具．

评注：分析与探究8的方法具有推广价值．本题的高等数学背景是函数的凸性．

3 试题的推广

张景中院士指出，“推广是数学研究中极其重要的手段之一，数学自身的发展在很大程度上依赖于推广．数学家总是在已有知识的基础上，向未知的领域扩展，从实际的概念及问题推广出各种各样的新概念、新问题．”[1]推广是研究数学的重要方法，也是数学研究性学习的重要方法．推广可以把问题一般化，从而实现从“一个题”到“一类题”的认知内化．推广可以培养学生的问题意识、探究意识和创新意识．

考虑把题目中的条件削弱，即可得到推广1．

推广1(1)设a,b为实数，且ab≥0，a3+b3=2，则(a+b)(a5+b5)≥4；

(2)设a,b为实数，a3+b3=2，则a+b≤2．

评注：由2.1之分析与探究1知，(1)真；由2.2之分析与探究6知，(2)真．

推广2设a>0,b>0,c>0，a3+b3+c3=3，则

(1)(a+b+c)(a5+b5+c5)≥9；

(2)a+b+c≤3．

证明(1)因为a>0，b>0，则由柯西不等式，得

(a+b+c)(a5+b5+c5)

(2)由均值不等式，得

a+b+c=a·1·1+b·1·1+c·1·1

=3.

推广3设a>0,b>0，n∈N+，n≥2，an+bn=2，则

(1)(a+b)(a2n-1+b2n-1)≥4；

评注：(1)的证明可用柯西不等式；(2)的证明可用2.2之分析与探究7、8的方法．

推广4设a>0,b>0，n∈N+，n≥2，an+bn=2，则

(an+1+bn+1)(an-1+bn-1)≥4．

推广5设a>0,b>0，n,k∈N+，n≥2，n>k，an+bn=2，则

(an+k+bn+k)(an-k+bn-k)≥4．

推广4和推广5的证明可用柯西不等式．

评注：(1)的证明可用柯西不等式；(2)的证明用琴生不等式较为简洁．

上述推广1-5可以纳入课堂，推广6不宜纳入课堂．