厘清本质 自主建构

赵荣华 曹慧

课前谈话：

师：同学们，你们知道我来自哪所小学吗？你们想看看老师所在的学校吗？一起来欣赏！（播放学校一幅幅场景图）

师：如果大家用数学的眼光，就能看到这些画面中隐藏着许许多多的线。（放大画面中的四幅局部细节图，如下图所示）今天这节课的学习，就从画面中的线开始！

【评析：由于是在异地上课，学生对老师所在的学校充满好奇，课前谈话抓住学生这一好奇心，注意从现实情境中截取典型的画面，为接下来抽象出两条直线的位置关系提供素材。】

一、通过分类活动引出对平行的初步认识

1.分类

师：瞧！在每一幅画面上，都能找到一些直直的线。（如下图）

师：根据这四幅图中直直的线，可以画出这样的四组直线。（隐去实物，抽象出四组直线，如下图）

师：仔细观察这四组直线，它们有什么相同和不同的地方？同桌交流交流。

学生汇报：相同的地方是每组都是两条直线，不同的地方是有的相交，有的不相交。

师：那咱们就根据相交和不相交（板书：相交 不相交），来把这四组直线分成两类！谁愿意上台来分给大家看（四组直线做成磁性板贴，贴在黑板上，可移动）。

一生上黑板分类如下：

相交 不相交

师：你这样分，问问大家都同意吗？（有学生举手示意不同意）你请一位不同意的小伙伴上来分一分。（另一生上台分类如下）

相交 不相交

师追问：你为什么把 调整到相交这类中来？这组

中的两条直线看上去并没有相交呀？

生：直线是可以无限延长的，延长下去就会相交了。

师：有道理！那咱们一起来想象一下，可以边用手比划边想象。把这两条直线延长下去……相交了吗？一起来看看电脑演示的结果（如下图），果然相交了。

师小结：（手扶两位同学）看来，在判断两条直线相交还是不相交时，仅仅靠眼睛观察还不够，还需要根据直线无限长的特点来发挥想象进行延长。

师：那在不相交的当中，咱们也选一组来延长看看，好吗？（如下图）瞧！如果屏幕足够大的话，无论怎样延长，这两条直线也不会相交。

【评析：在欣赏校园的情境中，选取典型的四幅画面，从中自然地抽象出四组具有代表性的直线，让学生经历“具体—图像—抽象”的过程，有助于培养学生数学抽象能力。之后，在引导学生根据相交和不相交来分类时，把这四组直线做成四幅磁性黑板贴，便于学生上台分类时移动、调整，充分展示大家的想法，從而产生分法的分歧，分歧的焦点是这组直线 ：

有的认为不相交，因为确实看上去没有相交；而有的认为是相交的，因为直线是无限长的，延长下去就会相交！此时教师适时介入，引导大家发挥想象进行延长，并通过电脑演示来验证想象的结果，既严谨，又让学生在这组直线归类的分歧中，深刻体会到：在同一平面内，判断两条直线是相交还是不相交，仅靠眼睛观察还不够，还需要空间想象的适当介入。因为现实情境中相交或不相交的其实都是有限长的线条，而不是直线。】

2.认识平行

师：刚才大家根据相交和不相交把这四组直线分成了两类。确实，在同一个平面上，两条直线的位置关系，要么相交，要么不相交，只有这样的两种情况。

相交 不相交

师：像这样（用手轻抚不相交的两组直线的面），不相交的两条直线，数学中，称之为？

生：平行。

师：听得出来，同学们早就知道了“平行”这个词。那现在，你能说说怎样的两条直线互相平行吗？

学生说不周全。

师：一起来轻声读一读这段话（如下），能理解吗？

师：如果用字母a表示第一条直线，字母b表示第二条直线，我们就说（如下图，引导学生读）：

师：这三句话自己轻声读一读，再体会体会。

师：如果用字母c和d分别表示黑板上这一组的两条直线 ，你会像这样说一说：谁和谁互相平行？谁是谁的平行

线吗？先说给同桌听一听，再来说给大家听！

师：这一组的两条直线 ，没有字母表示了，谁能上

黑板来边指边说：谁和谁互相平行，谁是谁的平行线？

指名学生上台。

师：如果把这组平行线移动一下（移动板贴倾斜一点），它们还互相平行吗？如果斜得更厉害些呢？如果换个方向倾斜呢？

生：仍然互相平行！

师小结：看来，（手拿 ，轻抚它的面，边旋转边说）

不管两条直线是横着的，竖着的，还是斜着的，只要这两条直线不相交，这两条直线就互相平行。

【评析：在上一环节分类的基础上教学认识平行，可谓水到渠成。学生对平行的认识并非一张白纸，但认识又是模糊不清的。这时，教师该如何拿捏？如何在学生已有认识的基础上进行精准教学呢？我们看到，赵老师没有把学生当作一张白纸进行概念的灌输教学，而是进行设问：“像这样，不相交的两条直线，数学中称之为？”当学生说出“平行”时，老师不作评价，而是借助多媒体出示“互相平行”四个大字。并追问，现在你知道怎样的两条直线互相平行吗？学生说不周全，这时，老师恰到好处地利用多媒体完整地出示“互相平行”及“平行线”的概念，并让学生在轻声读一读并体会体会那三句话中，润物细无声地进行规范表述的示范。之后，让学生从模仿到理解、多种互动形式来完整表述“谁和谁互相平行”“谁是谁的平行线”。最后，通过黑板上可移动的一组平行线的旋转变式来让学生认识到，不管两条直线是横着的，竖着的，还是斜着的，只要这两条直线不相交，这两条直线就互相平行。用这样的方式揭示两条直线互相平行以及平行线的概念，构思精巧、效果很好！】

3.考考你：（“练一练”第1题）

师：（指名读）下面哪几组的两条直线互相平行？

生：第（1）组和第（3）组。

师：为什么只选（1）、（3）两组呢？

生：因为第（2）组和第（4）组相交了，而（1）、（3）两组不相交！

师：是啊！（1）、（3）两组直线，不仅看上去不相交，发挥想象如果无限延长下去，也绝不会相交。（课件同步进行延长演示）

【评析：揭示平行线的概念后，及时安排学生进行辨析选择，且第（3）（4）两组直线，和书上相比，稍作了改动，避免了重复和简单，目的是考查学生对概念的认识是否到位！】

4.板书课题并举例

师：刚才，大家在分类活动中认识了平行（板书：认识平行），知道了像这样不相交（红粉笔划出）的两条直线互相平行。在咱们教室里，你能找到一些互相平行的例子吗？请你指一指，说给同桌听一听。放眼生活，又有哪些互相平行的例子？谁来说给大家听？

指名几生举例：直尺的两条边、斑马线……

师小结：还有这么多同学举手，看来，生活中互相平行的例子可真多！尽管这些例子中物体的边都是线段，比如刚刚提到的直尺的上边和下边，但我们可以想象，如果把这些线段的两端无限延长，就会得到两条互相平行的直线。

5.完成“练习十五”第6题

师：下面，就请你到图形中去找一找，哪些线段是互相平行的？

【评析：在小结、板书课题后，让学生先举一些容易看到想到的教室里互相平行的例子，再放眼举生活中互相平行的例子，之后到图形中去找一找互相平行的线段。这样由近及远，由具体到抽象，将“两条直线互相平行”推广至“两条线段互相平行”，既丰富了对“平行”的认识，又体会到今天所学知识与生活的密切联系。】

二、通过操作活动丰富对平行的已有认识

1.多种方法得到一组平行线

（1）折

师：看来，同学们不仅认识了平行，还能从生活以及图形中准确地找出互相平行的例子。如果给你一张长方形的白纸，你能折出一组平行线吗？

学生动手操作，汇报时指出，对折后的两条折痕就是一组平行线。

（2）画

①方格纸上画。

师：如果给你一张纸，不折了，你能想办法画出一组平行线吗？

生：能！

师：老师给大家准备了一张白纸和一张方格纸，你们觉得在哪种纸上画更省事、方便呢？

生异口同声：方格纸！

师：那你们能在方格纸上画两组平行线吗？试试看！

汇报：一起来看看小伙伴们的画法。（老师选择三位有代表性的同学上台展示）请你指一指，你画的两组平行线分别在哪儿？

A同学的 。

师评讲：老师看出来了，你是沿着方格纸的横线画出了一组，又沿着竖线画出了另一组，像他这样沿着不同方向的方格线，画出两组的，请举手！（大部分）。如果把这两组直线延

长下去（师用红笔画虚线）， 它们就？

生：相交成了直角！

师：这时，这两组平行线互相垂直！

B同学的 。

师评讲：你是沿着相同方向的方格线，分别画出两组的，

也很棒！如果把这4条直线编上号 ，在他刚才的介绍中，

我们已经知道了1号直线和2号直线互相平行，3号和4号互相平行，请问2号和3号也互相平行吗？2号和4号呢？1号和3呢？1号和4号呢？咱们可以用一句话来概括：这4条直线中，每两条都互相平行。这4条直线，也可以看作是一组互相平行的直线！

C同学的 。

师评讲：左边这一组的画法和前面同学相似，右边这一组可有点儿特别，是斜着的。说说你是怎样画出来的？

C同学介绍画法。

师：我明白你的意思了，你实际上是在方格纸中找到两组对应点（边点边说）来画的。能够想到这种画法，不简单！不过，两组对应点可要找准了！

感谢他们的分享，掌声请回他们。

②白纸上画。

师：刚才，同学们利用方格纸中横平、竖直的方格线以及两组对应点，轻松地画出了平行线。如果没有方格线了，是白纸（老师手举白纸），你还能画出一组平行线吗？试试看。

汇报：老师选择两位有代表性的同学上台介绍画法。

A同学：我是沿着直尺的两条对边来画的。

师：哦！你是利用身边现有的平行线，来画平行线的，真好！和他画法相似的同学请举手！（大部分）

B同学：我沿着直尺的边先画一条直线，然后把直尺往上推着平移一些，再画一条直线。

师：哦！你是凭着感觉进行平移畫出来的。他这样画，大家有什么想说的？

生：他用手推着平移时，万一手抖了，尺子歪了斜了，画出来的就不是平行线了！

师：有道理！能想到用平移的方法值得表扬！只是凭着感觉来平移，很不严谨，也不科学！有没有办法能保证三角板不歪，均匀地平移呢？一起来看老师带来的方法。

2.拓展画法

（1）用微课的形式来介绍用直尺和三角板画平行线的方法。

首先，用三角板的一条直角边和已知直线重合，简称一合。接着，用一把直尺紧靠三角板的另一条直角边，简称二靠，然后，按住直尺，把三角板沿着直尺平移，到想要的位置停下。简称三移。最后，画出平行线，简称四画。

（2）学生动手体验这种方法。

师：拿出方格纸，在方格纸的左下方，有一条已知直线，请大家左手拿直尺，右手拿三角板，跟着老师播放的节奏一起做。开始！（到第三步时，按暂停键，让学生体验：三角板可以向上平移，也可以向下平移，可以平移得宽一点，也可以平移得窄一点。之后问：咦？这把直尺的作用是什么？为什么要紧靠三角板呢？）

生：起固定作用，能保证三角板不歪地平移。

师：是啊！之前有同学是凭着感觉来平移的，现在看来，他离成功只差这一步（手指紧靠的直尺）。好啦，你想平移到哪儿？找个合适的位置停下画出平行线吧。

（3）画一画。

师：你想用这种方法，画出右边一条已知直线的平行线吗？

生：想！

师：看！用这种方法，想把平行线画在哪儿就画在哪儿。这种感觉很爽吧！

【评析：在前面教学的基础上，鼓励学生通过动手操作得到一组平行线，来进一步巩固已有的概念。人都有从简心理，为了避免学生在自主选择时扎堆在容易画的方格纸上操作。所以，精心设计有层次的操作活动：用纸折——用方格纸画——用白纸画，既让学生充分经历每个过程，又在拾阶而上的操作过程中获得成功的体验，丰富对平行的认识。值得一提的是，在用白纸画的环节，有部分学生出现了凭着感觉平移来画的情况，老师没有回避这种现象，而是展示出来引发大家讨论，从而认识到这种画法不严谨、不科学！此时教师抓住时机，顺应学生的需要：有没有办法能保证三角板不歪，均匀地平移呢？引出用三角板和直尺来画平行线的方法，水到渠成，一气呵成，不仅拓展了平行线的画法，也有助于学生进一步认识平行线的特点，且为后续学习奠定基础！】

3.融通方法，学以致用

师：咦？这种方法和我们最近学过的画什么的方法相似呀？

生：画垂线。

师：过直线上一点，是怎样来画这条直线的垂线的呢？一起来回顾一下！（微课播放）

师：看出来了吗？这两种方法，其实是相通的。带着这样的收获，一起来看这道题。（书上94页“练习十五”的第7题）

师：画好了吗？仔细观察刚才画的这几条垂直线段，每两条都？

生：互相平行。

师：这样看来，刚才画垂直线段的过程，其实也是画平行线的过程。（课件同步动态演示，如下图）看，知识之间融会贯通起来，真是太奇妙了！

师：下面，请你用尺量一量这几条垂线段的长度，你又有什么发现？把你的发现和同桌说一说。

生：一样长！

出示课件：两条平行线之间的所有垂直线段都相等。

师介绍：两条平行线之间垂直线段的长度也叫这两条平行线之间的距离。所以这句话也可以说成？（课件隐去上段话，出现如下一段话）

生（齐读）：两条平行线之间的距离处处相等！

师：正因为平行线之间的距离处处相等，所以回过头来想想（教师用手轻抚板书，引导学生回顾），互相平行的两条直线无论怎样延长，也？

生（整齐响亮）：绝不相交！

师：今天的课就上到这儿！下课！

【评析：用三角板和直尺来画平行线的方法，虽然教材已经做了调整，降低要求舍去了，但顺应学生的需要见机引入，未尝不可！加之，在前一课时，学生已经学会了用直尺和三角板画垂线的方法，这里，适时把用直尺和三角板画垂线与平行线的方法联系沟通起来，能丰富并加深對垂线和平行线的认识。课尾，通过对“练习十五”第7题的充分挖掘和探索，让学生发现隐藏在平行线和垂线背后的一些有趣现象，发现平行线的一些重要性质，既有助于学生从不同角度进一步巩固对平行线和垂线的认识，获得对平行的更多感悟，又为后续学习积累经验。最后，课在首尾呼应，厘清本质中戛然而止，让人回味无穷，圆满结束全课。】

【作者简介】

赵荣华，江苏省句容市崇明小学教科室主任，镇江市小学数学骨干教师，镇江市优秀课评比一等奖，江苏省“蓝天杯”数学会课一等奖，参与国家级课题研究，主持大市级课题研究并结题。

曹慧，江苏省特级教师，江苏省“人民教育家培养工程”培养对象，正高级教师，江苏省句容市崇明小学校长。