巧用多方法，妙解抛物线——以2018年全国卷Ⅰ文科第20题为例

☉江苏省常州市金坛区第一中学 宫鸡明

著名数学家、教育学家G·波利亚在《怎样解题》一书中指出：“好题目和某种蘑菇有点相似之处：它们都是成串生长.找到一个以后，我们应该四处看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的.”因而，当我们解完一道题以后，要不断领悟反思，多角度切入进行深度挖掘，从而达到触类旁通、一题多解的效果.

题目 （2018年全国卷Ⅰ文20）设抛物线C：y2=2x，点 A（2，0），B（-2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点.

（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；

（2）证明：∠ABM=∠ABN.

分析：本题涉及抛物线的方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、直线的方程与斜率、考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想等.关键是证明∠ABM=∠ABN时所切入的角度，可以利用直线的斜率和为零，也可以利用角平分线的性质，还可以利用几何法、参数方程法等来转化.不同的切入点有不同的解法，多点思维，多面开花.

解法1：（官方标准答案）（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，-2）.

（2）证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN.

当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k（x-2）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＞0，x2＞0.

直线BM，BN的斜率之和为

所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM=∠ABN.

综上，∠ABM=∠ABN.

解法2：（官方标准答案的改进）通过改进，巧设直线l的方程为x=my+2（m∈R），省去对直线l的斜率是否存在的分类讨论，从而结合kBM+kBN=0的证明来确定直线BM，BN的倾斜角互补，得以证明∠ABM=∠ABN.

（1）同解法1.

（2）证明：由于直线l的斜率可能不存在但不会为0，则可设直线l：x=my+2（m∈R），M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＞0，x2＞0.

直线BM，BN的斜率之和为

将x1=my1+2，x2=my2+2及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1+x1y2+2（y1+y2）=2my1y2+4（y1+y2）=-8m+8m=0.

所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM=∠ABN.

解法3：（角平分线性质法1）通过改进，巧设直线l的方程为x=my+2（m∈R），结合∠MBN的角平分线上的点A到两直线BM、BN的距离相等的性质，进而确定x轴为∠MBN的平分线，得以证明∠ABM=∠ABN.

（1）同解法1.

（2）证明：由于直线l的斜率可能不存在但不会为0，则可设直线l：x=my+2（m∈R），M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＞0，x2＞0.

所以x轴为∠MBN的平分线，故∠ABM=∠ABN.

解法4：（角平分线性质法2）通过改进，巧设直线l的方程为x=my+2（m∈R），通过分析，结合角平分线的性质，若有∠ABM=∠ABN，则有成立，利用两点间的距离公式的转化，以及比值的应用得到关系式成立，得以证明∠ABM=∠ABN.

法律制度的制定与修改，其背后都蕴含着社会现实生活对某一特定问题的关注和期待。然而并非所有的社会问题都会通过国家专项立法的方式予以明确性规定。以儿童健康权保护为例，我国目前并未就儿童健康权保护问题作出单独立法，而有关于专项保护未成年人健康成长的法律规范，主要规定在了《中华人民共和国未成年人保护法》等法律当中。

（1）同解法1.

（2）证明：由于直线l的斜率可能不存在但不会为0，则可设直线l：x=my+2（m∈R），M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＞0，x2＞0.

由得y2-2my-4=0，可知y1+y2=2m，y1y2=-4.

而A（2，0），B（-2，0），

可得|MA|2=m2y12+y12，|NA|2=m2y22+y22，|MB|2=（my1+4）2+y12，|NB|2=（my2+4）2+y22.

亦即（1+m2）［（my1+4）2y22-（my2+4）2y12］=0成立.

而（my1+4）2y22-（my2+4）2y12=［2my1y2+4（y1+y2）］·4（y2-y1）=（-8m+8m）·4（y2-y1）=0，

所以∠ABM=∠ABN.

解法5：（几何法）通过改进，巧设直线l的方程为x=my+2（m∈R），通过分析，利用平面几何方法，根据∠ABM=∠ABN的等价条件Rt△BFN∽Rt△BEM的转化，结合平面几何中对应直角三角形相应边的比值的关系式的建立与转化来分析，得以证明∠ABM=∠ABN.

（1）同解法1.

（2）证明：由于直线l的斜率可能不存在但不会为0，则可设直线l：x=my+2 （m∈R），M（x1，y1），N（x2，y2），结合图1可知，y1＞0，x1＞0，x2＞0，y2＜0.

分别过点M，N作x轴的垂线，垂足分别为E，F.

要证∠ABM=∠ABN，即证Rt△BFN∽Rt△BEM，即即证（my2+4）y1+（my1+4）y2=0.

而（my2+4）y1+（my1+4）y2=2my1y2+4（y1+y2）=-8m+8m=0，所以∠ABM=∠ABN.

（1）同解法1.

代入y2=2x得t2sin2θ-2tcosθ-4=0，可知

直线BM，BN的斜率之和为

所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM=∠ABN.

通过从多个不同角度来处理，巧妙把该题的底蕴充分挖掘出来，多角度出发，多方面求解，真正体现对数学知识的融会贯通，充分展现知识的交汇与综合，达到提升能力，拓展应用的目的.进而真正达到在学中“悟”，在“悟”中不断提升解题技能.正如我国著名数学家苏步青先生说过：“学习数学要多做习题，边做边思索，先知其然，然后知其所以然.”W