反思空间几何教学的层次性

☉江苏省梁丰高级中学 陈 燕

众所周知，空间几何是中学数学的难点和重点.空间几何教学一直是培养学生空间想象能力的核心章节，也是不可或缺的数学学科核心素养的落脚点.从教学方式来说，空间几何分为两部分教学方式，其一是欧氏几何的公理化体系，其严密的理论论证、同一问题的不同解决方式都让我们感受到空间想象能力的魅力；其二是空间向量解决方式的引入，相比传统方式，这是划时代的解决方式，特别是让偏文类的学生，获得了问题解决的可能.

从空间几何教学层次来说，笔者以为需要逐步深入思考，既要学会空间感知，也要学会用不同的方式解决空间几何问题的全面性.本文从层次性设计和学习的角度来谈一谈空间几何教学如何进行.

一、培养感知

空间几何与其他章节有所不同的是，其在生活中的模型更具普遍性，不需要深度抽象即可获得.比如，水塔的圆柱形形态、公交车的长方体形态、广州塔的组合体形态等.而以往老教材对于空间几何的教学是先教公理——定理，再认知各种形态，这种教学方式现已经被彻底否定，毕竟缺乏感性认知的纯理论教学并不符合中学教学的实际.因此，现教材中普遍让学生努力感受各种空间几何体，进而学习欧式公理化体系的方式值得认可.培养感知的方式可以通过学生动手实践，也可以从基本的投影概念出发，结合三视图实现，这样作为空间几何学习的第一层级是符合教学实际的.

层级1：动手操作的必要性

空间几何是研究空间点、线、面位置关系的章节，要学习这一复杂的知识，首先需要进行感性的认识.而感性认知最好的方式，是请学生动手参与，获得良好的空间感知.笔者请学生实践两个方面：第一是做常见几何体的模型，第二是用投影绘制一幅作品，思考为什么这样画？

设计意图：学生实际动手操作的几何模型，大大加深了对几何模型的认识，投影概念下的画面符合人的视角以及良好的空间概念，这是几何教学的感性层级，为后续认识欧式几何公理化体系打好铺垫.

层级2：三视图教学的设计

在获得良好的空间感知之后，需要不断加强这一感知的认识，结合三视图教学来实现这种巩固.我们知道三视图是空间几何和投影（平面几何）结合的一个重要环节，其有助于帮助学生建立空间想象能力，从投影的平面图形中获得空间模型的建立，这种能力是不断训练和培养得到的.

问题1：一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为______.

问题2：某几何体的三视图如图2所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是______.

图1

图2

设计意图：三视图教学可以说是没有太多知识点的教学，但是又可以说是有着不同层次设计的教学，教师在设计时考虑的三个因素是：第一，是否能够从三种视图中获得基本图形的轮廓；其二，能否结合体积、面积公式寻求解决；其三，寻求更为多变的问题.从这样的层次性来设计问题，可以更好地帮助学生感知空间几何的结构，又能结合知识点整合进行教学.

简解：图1是底面半径为1，高为1的半圆锥，易得所求几何体体积为；图2是直角梯形为底的四棱锥，易得x=3.

二、建立公理化的欧式体系

欧氏几何已经创立近千年，特别是完善的公理化体系，让学过传统几何证明的人都感到其无比的严密和精妙.回想一下欧氏立体几何大厦的18大公理、定理体系，完美而精妙地将立体几何问题框于其中，使得我们可以论证各种问题.在学习立体几何教学的时候如何设计传统欧式几何的层次性呢？笔者认为有两点：第一，对18大公理和定理体系的完美打造和论证，这一点来说，已经让不少学生感觉到非常困难，因此笔者建议要从层次性和使用频率角度来说全新设计，才能让学生记忆深刻；第二，变式题组的训练，主要是对于如何求解一类问题的训练.

层级3：定理重要程度的层次性设计

笔者以为，按照使用频率和重要程度，所学过的公理和定理也需要将其分为不同的层级，方便学生学习和整理，某些定理几乎根本不被使用，学生难以掌握也是情有可原的.

层级A第一层次：线面垂直的判定定理、面面垂直的性质定理、三垂线定理第二层次：面面垂直的判定定理、线面平行的判定定理、面面平行的判定定理第三层次：线面平行的性质定理、面面垂直的判定定理、最小角定理层级B第一层次：公理4（空间的平行线之间具有传递性）第二层次：线面垂直的性质定理、公理3第三层次：公理1、公理2以及三个推论、等角定理

按照上述笔者对于公理化体系的定理分层，我们不难发现，层级A中的三个层次是需要重点掌握的，也是频率非常高的考点，因此随着学生数学能力的高低，需要逐步掌握.

问题3：已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，且AA1=2，O1是A1C1与B1D1的交点，若E是AB1的中点，求证：O1E∥平面ADD1A1.

简证：连接AD1，因为O1是B1D1的中点，E是AB1的中点，所以平面ADD1A1.

设计意图：按照重要程度对定理进行分类，做到教学的层级化分层，是空间几何传统法教学的重要保障，通过问题3也看到了什么定理是频率使用最高的，所以教学层级化设计是有的放矢的.

三、向量运用的层级性

空间向量方式介入对于我们研究空间几何有了全新的视角——用代数的方式获得更为简捷的途径.这种方式的确大大简化了学生的思维方式，特别是偏文类学生、空间想象能力较弱的学生，都有着无可匹敌的优势.但是这种方式必须放在空间几何教学的最后阶段实施，否则一旦过早介入，势必导致学生侧重向量运算解决问题，而抛弃对于公理化体系的严密论证，从而对空间想象能力的培养是不利的.

向量方式的运用如何设计层次性？笔者以为考虑下列方面：首先，自由向量的使用，自由向量是不拘泥于直角坐标系，方便学生灵活运用，这是学习向量的初衷；其次，正交分解下的直角坐标系的向量问题的解决；最后，向量解决方式的代数化极致使用方式.笔者通过一个案例进行说明.

层级4：向量运用的层次性

问题4：如图3，三棱锥P-ABC中，E、D分别是棱AC、BC的中点，PB=PC=AB=4，AC=8，BC=4，PA=2.求直线AC与平面PBC所成角的正弦值.

图3

层次1：若运用空间向量解决问题，学生的第一方式是如何建立坐标系？常规建立坐标系的方式是：首先分析清楚面PDE⊥面ABC，进而可以通过点P向DE作垂线，从而获得z轴的方向，进而利用法向量求解，这种方式最大的困难是没有完全利用向量的代数性，而需要传统的公理化体系帮助.

层次2：向量方式的高层次方式是完全不需要公理化体系，而是自成一派！不妨以BC作为x轴，BA作为y轴，以垂直于ABC平面的线作为z轴，此时B（0，0，0）、A（0，4，0）、C（4，0，0），这样对于点P我们就设其坐标为（x，可以求得点P的坐标，进而利用向量方式求解.

设计意图：从向量角度来说，其代数和几何的双重性让我们对于向量有了更为美妙的认识，如何更好地利用其某一性质学习空间几何，才是教学层次性设计的关键.

总之，空间几何教学是难点，但是如何处理好教学的设计对于我们来说并非困难，因为课程标准从感性到理性的宏观指导给了我们教学方向，教师将这一理念落到教学一线，具体化、层次化的实施对于空间几何教学是有意义的.