大跨度悬索桥主缆空缆状态振动模态分析

祝志文，王艺静，吴其



大跨度悬索桥主缆空缆状态振动模态分析

祝志文1, 2，王艺静2，吴其2

(1. 汕头大学 土木与环境工程系，广东 汕头 515063；2. 湖南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410082)

为研究洞庭湖二桥施工过程中主缆空缆状态的动力特性，基于弦振动理论推导了主缆面外和面内振动基频的2个估算公式。研究结果表明：估算公式能较准确地给出空缆状态主缆的第1阶面外振型和第1阶面内反对称振型对应的频率。开展的有限元分析表明，该桥以中跨主缆明显振动的前8阶面外振型，高阶振型的频率符合与基频的倍频关系；面内第1阶振型为反对称振型，表明该桥具有短边跨悬索桥特征，也即边跨主缆对主塔塔顶有较大的纵向约束。另外，该桥主缆空缆状态下的基频非常低且振动周期很长，前多阶模态呈现频率密集的特征。

悬索桥；模态分析；空缆；有限元；弦振动

悬索桥是主缆、主塔、锚碇、吊杆、桥面系和附属设施组成的一种典型的柔性结构，由于具有受力简单合理、能充分发挥材料性能、施工安全方便等特点，是跨越能力最大的桥梁结构。比如1998年建成的明石海峡大桥，主跨1 991 m，一直是世界上跨度最大的桥梁；正在建设的广东虎门二桥坭州水道桥主跨1 688 m，建成后将是国内跨度最大的桥梁工程。由于悬索桥跨度大和主缆抗弯刚度小，几何非线性效应显著[1]，加之结构阻尼很小，容易在外部激励，比如风荷载作用下产生大幅度的振动。另外，在悬索桥施工过程中加劲梁安装前的空缆状态，中跨水平悬挂的空缆结构刚度更小，更易发生大幅度的振动。因此，无论是悬索桥设计、施工还是成桥运营，了解悬索桥空缆状态的动力特性，是了解结构振动模态在施工过程中的演化规律，评价悬索桥抗风安全的重要基础，而获得结构动力特性的主要途径有理论分析、有限元计算和现场实测。如张文明等[2]以马鞍山大桥为背景，基于有限元分析开展了单主跨和双主跨悬索桥动力特性的对比分析。XU等[3]基于有限元开展了青马大桥施工过程的模态分析，揭示了悬索桥振动模态随施工过程的演化规律。HU等[4]通过有限元分析研究了中央扣对大跨度悬索桥模态的影响。YU等[5]基于GPS测量信号开展了悬索桥模态频率的现场实测。ZHANG等[6]通过环境激励下悬索桥结构响应的长期实测，分析了悬索桥模态特征以及随环境的变化规律。王甜等[7]通过现场实测自锚式悬索桥在环境激励下的响应，基于随机子空间技术开展了结构的模态参数识别。

1 水平张紧弦的横向振动

考察图1所示的一根长度为的水平张紧弦(忽略抗弯刚度)，并建立如图所示的直角坐标系。假设其均匀分布的单位长度质量为，弦中张力为，且在作微幅振动的过程中该张力保持不变。

取弦微元d，考虑其振动惯性力，建立起竖向力的平衡方程为

上述化简得到弦振动的基本方程为

式(2)偏微分方程为一维线性波动方程，可采用分离变量法求解。假设方程的解可写成为

式(3)中为振动圆频率，=2π，其中为振动频率，Hz；()为振型函数，将式(3)代入(2)可得到关于振型函数的常微分方程

式(4)的解为

假设弦的两端固定，对应的端点边界条件为

其中：=1,2,3,…。从上可得弦横向振动的固有圆频率为

或频率为

各阶固有频率对应的振型为

对两端固定的弦，其各阶振型均为以两端点为节点(不动点)的正弦波形，其中频率最低的振型也称之为基本振型，对应的频率称之为基频。基频为半个波，高阶振型频率均为基频的整数倍(n=1)，也即倍频关系。如以弦长/2处考察两侧质点振动位移的对称关系，可将振型分为对称振型和反对称振型。且不难发现，对称振型有奇数个半波，反对称振型有偶数个半波，如表1所示。

表1 张紧固定弦的振型和频率

(a) 面外振动；(b) 面内振动

式中：为重力加速度。实际上，上式不仅适用于悬索桥空缆状态的第1阶反对称振型的频率估算式，同样也适应于主跨跨径大于500 m的悬索桥第1阶反对称竖弯振型频率的估算[10]。

(a) 水平悬挂的缆索；(b) 第1阶振型(第1阶反对称)；(c) 第2阶振型(第1阶正对称)；(d) 第3阶振型(第2阶反对称)；(e) 第4阶振型(第2阶正对称)

图3 下垂缆索的面内振型

Fig. 3 In-plane mode shapes of sagged cable

2 悬索桥主缆空缆状态动力特性

以洞庭湖二桥为例，通过有限元分析给出大桥主缆施工完成的空缆状态下的模态特征，并与估算公式的结果进行对比。

2.1 工程概况

洞庭湖二桥是杭瑞高速公路在湖南境内跨越洞庭湖的关键工程。大桥位于洞庭湖入长江交汇口处的岳阳市七里山，下游离长江航道3 km，东南起于岳阳楼区，西北接君山区，上游距建成的岳阳洞庭湖大桥(三塔斜拉桥)3 km。大桥设计洪水频率为1/300，通航要求为I(3)级，单孔双向通航孔通航净宽337 m，通航净高18 m；桥位区为A类地貌，设计基本风速32.9 m/s；地震基本烈度为Ⅶ度，峰值加速度0.09 g，场地特征周期Tg=0.65 s。大桥采用6车道高速公路标准和公路-I级荷载设计，设计车速100 m/s[11]。

大桥为双塔连续钢桁梁悬索桥，采用不对称立面布置形式，主缆孔跨布置为460+1480+491 m，如图4所示。主梁通过吊杆悬吊两跨加劲梁，其中中跨跨度为1 480 m，君山侧边跨跨度453.6 m，加劲梁全长1 933.6 m，桥面全宽33.5 m。全桥共117对吊索，吊索平面布置，标准间距16.8 m。

洞庭湖二桥主缆矢跨比1/10，主缆横桥向中心距35.4 m；主缆采用预制平行钢丝索股。每根主缆中，从君山侧锚碇到岳阳侧锚碇的通长索股有175股，君山侧边跨另设6根附加索股锚固于君山侧主索鞍上。每根平行钢丝索股由127根直径为5.35 mm、公称抗拉强度为1 860 MPa的高强度镀锌钢丝组成，钢丝弹性模量为1.96×1011MPa。大桥两侧主塔采用门式结构，设上横梁和下横梁，岳阳侧塔高203.088 m，君山侧高206.088 m。另外，主缆通过两端的重力式锚碇锚固。

单位：m

2.2 基频的理论估算

悬索桥主缆空缆状态下基频的估算，可将主缆线形近似处理成抛物线，基于抛物线主缆轴力水平分量的计算公式，有：

主缆面外振动第1阶频率的估算，可通过式(9)得到：

根据式(11)，可得到主缆面内第1阶反对称振型的频率为：

2.3 有限元分析

采用ANSYS软件对洞庭湖二桥空缆状态进行动力特性分析。建模时定义为顺桥向，为竖向，为横桥向。桥塔采用BEAM188单元模拟，主缆采用只能受拉不能受压的空间杆单元LINK10模拟，其初始轴力通过输入单元初应变模拟，塔顶主鞍座的质量通过MASS21单元模拟。主塔混凝土材料的弹模取3.55×1010MPa，主缆和混凝土的泊松比分别为0.3和0.167。因主要关心的是包含主缆和主塔结构的动力特性，故不考虑桩土相互作用，即塔底、锚碇内主缆位置均为固结。图5是大桥主缆空缆状态的有限元模型。

图5 洞庭湖二桥主缆空缆状态有限元模型

图6给出了主缆空缆状态的基本振型，也为面外第一振型，该振型为对称振型，特征是振动集中于中跨主缆，主塔和边跨主缆均保持不动，对应的频率为0.048 Hz。这一频率的估算值为0.046 Hz，偏差小于5%。这说明基于弦振动理论的基频估算公式能给出基频的合理估计，也说明采用抛物线主缆线形近似空缆线形所带来的误差很小。另外，这一频率对应的周期为21.7 s，这说明大跨度悬索桥主缆空缆状态的基频非常小，自振周期很长。

可见与这一基频对应的另外一个振型如图7所示，与图6唯一不同的是，此时上下游两侧的主缆为反相运动，但对单侧主缆而言，实际上二者为主缆同一振型，没有差别。

(a) 立面；(b) 平面

(a) 立面；(b) 平面

图8为主缆的第2阶振型，为面内第1阶振型和面内第1阶反对称振型，特征是为中跨主缆的显著运动，主塔和边跨主缆均保持不动，对应的频率为0.093 Hz，略小于公式估算值0.095 4 Hz，但偏差仅为2%，可见基于公式估算的第1阶反对称振型频率偏差非常小。与这个频率伴随的另外一个振型如图9所示，频率同样为0.093 Hz。此时上下游两侧主缆运动反相，但对单侧主缆而言，实际上也为主缆同一振型。需要指出，该振型频率约为基频的2倍，且由于其先于正对称振型出现，可认为该悬索桥主缆仍为短边跨情况[4]，也即边跨主缆对主塔塔顶有较大的纵向约束。

(a) 立面；(b) 平面

(a) 立面；(b) 平面

大桥主缆第3阶振型如图10所示，为面外反对称振型，也是面外第2振型，特征是为中跨主缆的显著面外运动，主塔和边跨主缆均保持不动，对应的频率为0.096 Hz，是基频的2倍。与上类似，与这一频率伴随的另外一个振型如图11所示。

(a) 立面；(b) 平面

(a) 立面；(b) 平面

主缆第4阶振型如图12所示，为面内对称振型(因2个边跨不完全相等，振型并不严格正对称)，也是面内第2阶振型，特征是中跨和边跨主缆的显著面内运动，主塔对称纵向运动，对应的频率为0.119 Hz。

主缆第5阶振型如图13所示，为面内对称振型，也是面内第3阶振型。该振型与第4阶振型类似，但上下游两侧主缆振动反相，特征是为中跨主缆的显著面内运动，主塔和边跨运动明显小于中跨，对应的频率为0.136 Hz。

(a) 立面；(b) 平面

(a) 立面；(b) 平面

主缆第6阶振型如图14所示，为面外振型，特征是中跨主缆较小幅度的对称面外运动和君山侧边跨主缆的较大幅度对称面外运动，且岳阳侧主缆均保持不动，对应的频率为0.141 Hz。同样，与这一频率对应的另外一个振型如图15所示。

(a) 立面；(b) 平面

(a) 立面；(b) 平面

主缆第7阶振型如图16所示，为中跨主缆面外第3阶振型，也是面外第2阶正对称振型，特征是中跨主缆的较大幅度的面外运动和两端边跨主缆的较小幅度反对称运动，对应的频率为0.144 Hz。同样，与这一频率对应的另外一个振型如图17 所示。

(a) 立面；(b) 平面

(a) 立面；(b) 平面

主缆第8阶振型如图18所示，为面内对称振型，也是面内第3阶对称振型。该振型表现为中跨主缆的正对称运动、君山侧主缆的大幅度振动和君山侧主塔的纵向运动，以及岳阳侧主缆的不动，对应的频率为0.146 Hz。

主缆第9阶振型如图19和20所示，为岳阳侧主缆的较大的面外振动，中跨和君山侧主缆不动，对应的频率为0.152 Hz。

(a) 立面；(b) 平面

(a) 立面；(b) 平面

(a) 立面；(b) 平面

表2分列了大桥主缆空缆状态前8阶面外模态中，以中跨主缆振动为主的对称和反对称模态，可见相对第1阶面外正对称模态(基频0.048 Hz)，其他高阶模态频率均是基本模态频率的整数倍，且正对称振型的半波数为奇数，反对称振型的半波数为偶数。另外，当中跨主缆发生面外较大幅度振动时，边跨主缆的振动相对较小，甚至保持不动。

表2 面外对称和反对称模态

第3阶，频率0.240 Hz第3阶，频率0.288 Hz 第4阶，频率0.334 Hz第4阶，频率0.381 Hz

表3列出了主缆空缆状态前40阶模态中，中跨主缆振动明显占优的面内主要模态，并分列了面内模态中的对称和反对称模态。可见第1阶正对称振型比第1阶反对称振型频率高28%，且前40阶模态中，正对称振型明显多于反对称振型。

表3 面内对称和反对称模态

3 结论

1) 基于弦振动理论推导的主缆面外和面内振动基频的估算公式，能较准确的给出超大跨度悬索桥空缆状态主缆的第1阶面外振型和第1阶面内反对称振型对应的频率估计，且频率估算时空缆主缆线形采用抛物线近似带来的误差极小。

2) 在以中跨主缆振动为主的空缆状态结构，相对第1阶面外正对称模态，其他高阶模态频率均是该基本模态频率的整数倍，且正对称振型的半波数为奇数，反对称振型的半波数为偶数。当中跨主缆发生面外较大幅度振动时，边跨主缆的振动相对较小，甚至保持不动。

3) 大跨度悬索桥主缆空缆状态的基频非常低且振动周期长，洞庭湖二桥面内第1阶振型为反对称振型，表明该桥具备短边跨悬索桥特征，也即边跨主缆对主塔塔顶有较大的纵向约束；另外，大跨度悬索桥前多阶模态还呈现频率密集的特征。

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Modal analyses of large-span suspension bridges at free main cable stage

ZHU Zhiwen1, 2, WANG Yijing2, WU Qi2

(1. Department of Civil and Environment Engineering, Shantou University, Shantou 515063, China; 2. College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)

In order to investigate modal property of large-span suspension bridge at free main cable stage under construction, two formulas of frequency prediction on free main cable are put forward based on the string vibration theory, and those formulas can provide accurate frequency estimation on the first in-plane and the first out-of-plane modes of the free main cables, compared to FEM results. The FEM analysis shows that among the first eight out-of-plane mode with notable central-span cable vibration, the frequencies of the higher-order mode are of multiple-frequency of the fundamental frequency. The antisymmetric property of the first in-plane mode indicates that the suspension bridge belongs to a short side-span one with strong restraint on the main tower from the side-span cables. In addition, the fundamental frequency of the bridge at free main cable state is significant lower corresponding to a notable long vibration period, and its natural frequencies are closely spaced among a small frequency range.

suspension bridge; modal analyses; free main cable stage; FEM; string vibration

10.19713/j.cnki.43−1423/u.2018.11.014

U448.25

A

1672 − 7029(2018)11 − 2833 − 09

2017−09−15

国家重点基础研究发展计划(973计划)项目(2015CB057702)；国家自然科学基金资助项目(51878269)

祝志文(1968−)，男，湖南益阳人，教授，博士，从事钢桥疲劳与断裂、桥梁动力学与模态识别，以及大跨度桥梁抗风研究；E−mail：zwzhu@hnu.edu.cn

(编辑 涂鹏)