教学考试“优师计划”阶段性成果展示——2014-2018年全国卷Ⅱ理科真题规律分析报告

重点知识纵向分析

函数与导数知识模块分析

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规律总结

函数与导数模块知识点的考查是高考命题的核心模块，也是重点考查的知识点，更是选拔性强、区分度最大的一大模块，近5年该模块知识点的分值呈现了一个先下降又上升的趋势，说明新课标全国Ⅱ卷理科试题还在寻找其合适的出题尺度.客观题以对基础知识、基本技能、基本方法的考查为主，重点考查分段函数、函数的图象与性质、函数的零点、导数的几何意义及利用导数研究函数性质(单调性、最值和零点)等主干知识；解答题以考查导数在函数中的应用为主，以二次函数、指数函数和高次函数的组合表达式为载体，重点考查函数的单调性、极大(小)值、最大(小)值、函数的零点及不等式证明等主干知识，注重函数与方程、化归与转化、分类讨论、数形结合等思想的灵活运用，注重考查数学思维能力和创新意识.在压轴题中，求切线和研究函数的交汇、两个函数图象的交点问题可以转化为一个新的函数的零点问题、函数图象与函数零点综合问题、利用导数证明不等式、不等式的存在性及恒成立问题等，是高考命题的热点.

学习策略

含参恒成立问题的处理方法：方法一：分离参数，构造新函数，求其最大值或最小值，此方法的具体解题思路是：①分离参数；②构造新函数，求其导数；③判断新函数的单调性(一般通过一次导数或二次导数进行判断)；④利用其单调性求出该函数所需要的最值；⑤根据不等关系，求出参数范围.方法二：直接构造函数，对参数分类讨论，巧借端点值，得到参数范围.

平面解析几何知识模块分析

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规律总结

该模块知识点近5年考查分值固定，且知识覆盖相对较为固定，客观题都为直线、圆、抛物线、双曲线、椭圆的单一知识点考查，或是两个、三个知识点的综合，多以考查直线方程、点线距离公式、圆的方程、直线与圆和圆与圆的位置关系、圆锥曲线的标准方程、几何性质为主.解答题多以考查直线、圆、圆锥曲线的位置关系为主线，探求定点、定值、范围以及探究性问题，难度较大，从解答题的题型可以发现，前4年全是直线与椭圆的位置关系，只有2018年是有关抛物线、直线和圆的综合问题，且2018年解析几何的解答题首次设置在第19题位置，说明今后的命题趋势可能会迎来较大的变化.此外，需加深对思想方法的理解：如数形结合思想，结合数的办法与形的意义，提升思想，简化运算.又如函数与方程的思想、如何利用函数求解最值定值问题等.

学习策略

求轨迹方程的常用方法：

(1)直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)=0.

(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程.

(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.

(4)代入(相关点)法：动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x,y)的轨迹方程.

空间向量与立体几何知识模块分析

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规律总结

立体几何部分连续5年所占分值保持不变，与解析几何相同，且在2018年高考中，首次设置在题号为20的位置，说明该知识模块地位之重要，2018年高考中首次将三视图问题取消，说明今后的新课标全国Ⅱ卷立体几何部分可能会迎来较大变化.纵观近5年高考发现，立体几何部分，主要考查三个部分：(1)三视图与直观图的关系，尤其是“组合式”和“挖切式”；(2)几何体的表面积与体积的计算；(3)球的外接或内切问题；(4)证明线面的位置关系：平行与垂直；(5)求空间中所成角问题(两条异面直线所成的角、线面角、二面角)；(6)求空间中距离问题(点面距、线面距、面面距)，其中客观题以(1)、(2)、(3)、(4)为主，解答题以(4)、(5)、(6)为主，而且主要用空间向量的方法求解或证明.注重考查空间想象能力和数学运算能力.

学习策略

空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和准确地表示出所需点的坐标是解题的关键.

概率、统计与计数原理知识模块分析

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规律总结

概率与统计近5年来，分值相对稳定，只有2018年为17分，其他年份每年都有一道排列组合或是二项式定理问题，2018年不仅没有这部分内容，而且注重该模块知识的应用性、综合性与开放性，预示着新课标全国卷Ⅱ可能会迎来较大变动，也是为新课改做准备.概率与统计命题立足课本原题的改编与拓展，多与日常生产、生活相结合，有着浓浓的时代气息和实用价值，体现出更为新颖的立意和情景，难度中等.客观题以随机抽样、古典概型、几何概型、数据的数字特征等为主，解答题重点考查用样本估计总体以及变量的相关性、独立性检验和回归分析、离散型随机变量的分布列、数学期望和方差、事件的独立性和n次独立重复试验模型、频率分布直方图和茎叶图的应用等，注重数据分析与处理能力、数学运算、数学模型的构建等素养的考查.

学习策略

利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.

三角函数与平面向量知识模块分析

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续表

规律总结

平面向量与三角函数模块知识分值近5年逐年增加，说明对该模块知识点的重视程度逐年加大.每年都有一道单独考查平面向量知识点问题，说明新课标试题对于知识点应用性的重视，并在2018年与立体几何的圆锥综合作为第16题压轴题出现，更说明了该知识点模块的重要性.客观题考查主要集中在三角函数的图象与性质、三角恒等变换、平面向量的基本概念及运算、平面向量的几何意义，解答题主要考查解三角形(正弦定理和余弦定理的应用)，一般具有一定的开放性和探究性；平面向量常与三角函数、解析几何、不等式等知识交汇考查，重点考查数形结合、转化与化归、函数与方程等思想方法，注重基础知识和基本概念的应用能力、基本运算能力、恒等变换能力、逻辑推理能力等.

学习策略

三角函数问题的解决策略为：(1)利用公式化简原函数；(2)使用辅助角公式化为正弦函数，或者利用换元的思想方法转化为几类简单函数；(3)利用三角函数的基本性质求解相关问题.

数列与不等式知识模块分析

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规律总结

对于不等式模块知识点所占分值比例较大，原因是不等式相关知识可以与很多其他模块的知识综合，例如：与集合综合、与数列综合.纵观近5年高考发现，对于数列的考查分值比例呈现下降趋势，而且考查难度也越来越小，是考生容易解决的问题，得分率较高.客观题注重考查等差数列和等比数列的基本概念、基本性质等基础知识、基本方法，避免繁琐的运算，解答题中数列重点考查等差、等比数列相关公式基本量的计算及其主要性质、数列求和的常见方法、an与Sn关系的应用等，将问题可转化为等差、等比数列，侧重考查逻辑思维能力；不等式选讲主要以含绝对值的不等式的解法、不等式的证明为主，考查数形结合、数学运算等思想方法.

学习策略

证明数列不等式的方法：①从通项入手，考虑如何放缩，然后对需要的项进行放缩；②对放缩后的式子求和，求和完后根据要证的结论，若需要放缩再放缩.

备考建议

1.一轮复习——厘清“知识与方法”，固本扣纲

(1)复习课本，再次系统确认已学过的各主干知识点和基本方法，特别是在数学结构中起支撑作用的重要知识点.(精读高一、高二教材)明晰课本从前到后的知识结构，将整个知识体系重新整合，使之框架化、图式化，将解题所用知识点的出处进行提炼.

(2)配合一轮复习进度，将课本上的典型例、习题按照类型和方法进行挑选，再做一遍，还会有新的收获.随着知识点复习的逐渐展开，相应的题型也多起来，要对重要的常见题型提炼出其解题方法，形成程序化的思维操作，而且要从多种方法中选择环节最少、最靠谱的方法进行强化训练.

(3)数学运算至关重要，要加强训练，多做题，苦练基本功，做到解题时熟悉运算基本法则，运算熟练，繁杂的运算快速而且准确，做到运算中能根据题目快速进行变形，平时要积累自己运算中常犯的错误，逐渐消除自己错误的运算思维和习惯.

(4)审题是解题的关键，要养成良好的审题习惯.数学题是由文字语言、符号语言和图形语言构成的，拿到题后要“宁停三分，不抢一秒”，否则会出现看错数字、漏看文字、理解不透题意等现象，可采取“一慢一快”战术，即审题要慢、答题要快.如果理解不深、思路不清、运用不活,这表明数学基础不牢固.

(5)一开始就要注重解题规范、书写规范、格式规范、思路规范，务必要将解题过程写得层次分明，结构完整，精益求精，尤其是一定要写在踩分点上.不要出现例如在立体几何中，求证过程不规范，应用题缺乏必要的建模过程，概率问题缺乏必要的分析和表述的情况等.

(6)一开始就要总结和积累选择题、填空题的解法，尤其是一些特殊的解法，特殊的思维，独特的方法等，既要做到小题小做，还要做到小题大做.

2.二轮复习——强化“微专题与套卷训练”，查漏补缺，回归教材

(1)微专题复习的目的有二：一是对重要的数学思想方法和重要的题型做强化训练，使其牢固；二是查漏补缺，对一些易错的知识方法加以矫正固定，对一些容易忽略、薄弱的知识点能够做到全面覆盖，形成完备的知识方法体系.

(2)套卷训练是为了整合一轮复习彼此分离的知识方法，将一轮复习获得的知识方法协调起来，灵活运用，形成协调一致的数学知识方法能力结构，同时加强创新意识和应用意识.

(3)回归教材，不是简单地将教材中的基本概念和定义再过一遍，而是以现在的考练题为着眼点，将其所隐含的“四基”“四能”显现出来，把过程和方法展现出来.有针对性地做题，要注意试题和试卷新的立意和变化，做到重点突破；对自己把握不准或在以前考练中概念、方法不清，常犯错的题目，应追溯本源，不惜笔墨认真对待，梳理总结自己在模考中的易错题型，建立自己的错题本.

3.最后冲刺——归纳梳理，构建思维导图，调整生物钟，平和心态

(1)进一步缩小范围锁定典型题型及经典方法加以巩固，对易错点进行反馈纠错，适量地、精选地进行模拟训练、实战演习，培养整体感，锻炼在整套试卷完成过程中的自我调控能力，锻炼自己的专注力、毅力、定力，培养自己在考试中的信心和锲而不舍的精神，积累良好的正面考试经验.

(2)规范答题，养成良好的解题习惯.规范答题要求是：概念、符号应用要规范；结论表示要规范；书写格式要规范；几何作图要规范；解题步骤要规范.并做好以下规范训练环节：①平时作业要落实；②模拟考试看效果；③评分标准做借鉴.

(3)把高三一轮和二轮复习中的重点知识和方法进行整合、浓缩和提炼，构建知识和方法为一体的思维导图，将书读薄，形成自己的东西.要通过解答典型题目，由小见大，加深对主干知识和解题基本方法的理解，对所学知识有更清晰的认识，争取达到举一反三、触类旁通的效果.