高中数学中的转化与化归思想

2018-12-07广西黄汉羡

教学考试(高考数学) 2018年5期

广西黄汉羡

转化与化归思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，如数形结合思想体现了数与形的转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式之间的互相转化；分类讨论思想体现局部与整体的互相转化.各种变换方法，分析法、反证法、待定系数法、构造法等也是转化的手段.本篇文章主要通过几个实例，谈谈高中数学中的转化与化归思想.

一、转化与化归思想方法

1.什么是转化与化归数学思想？

可以简单地说，转化就是把一个问题变为另一个问题，化归就是把一个陌生问题变为一个熟悉的问题，用数学语言来说就是把未知问题转化为已知问题、化一般问题为特殊问题、化抽象问题为具体问题.其实，化归思想就是一种转化思想，因此，我们数学上，就把转化和化归作为一种数学思想方法——转化与化归思想.

2.转化与化归思想的基本类型

(1)正与反的转化；

(2)一般与特殊的转化；

(3)常量与变量的转化；

(4)数形之间的转化；

(5)数学各个分科之间的转化；

(6)相等与不等的转化；

(7)实际问题与数学模型之间的转化.

二、转化与化归思想在高中数学解题中的主要应用

1.一般与特殊的转化

解题思路：这个数列是陌生的数列，通过分析我们发现能够化归为我们所熟悉的等差数列.

所以我们在处理陌生的数列时，经常通过一定的变形，转化为我们所熟悉的等差数列或等比数列.

2.常量与变量的转化

【案例2】设f(x)是定义在R上的单调递增函数,若f(1-ax-x2)≤f(2-a)对任意a∈[-1,1]恒成立,则x的取值范围为 .

解题思路：f(x)是定义在R上的单调递增函数，

且f(1-ax-x2)≤f(2-a)→1-ax-x2≤2-a,

其中a∈[-1,1]→a(x-1)+x2+1≥0

对任意a∈[-1,1]恒成立→令g(a)=(x-1)a+x2+1

函数就转化为关于a的一次

解：∵f(x)在R上是增函数，

∴由f(1-ax-x2)≤f(2-a)，可得1-ax-x2≤2-a,a∈[-1,1]，

即∀a∈[-1,1],a(x-1)+x2+1≥0恒成立.

解得x≤-1或x≥0.所以实数x的取值范围为x≤-1 或x≥0.

由此可见，在处理多变量的数学问题时,当常量(或参数)在某一范围取值,求变量x的范围时,经常进行常量与变量之间角色的转化,即可以选取其中的常量(或参数),把它看作是变量,而把变量看作是常量,从而达到简化运算的目的.案例2就是把a看作变量而把x看作常量，函数就转化为我们比较熟悉的一次函数.

3.换元法

【案例3】求函数y=(1-2sinx)(1-2cosx)的最小值．

解：由y=(1-2sinx)(1-2cosx)得y=1-2(sinx+cosx)+4sinxcosx,

由t2=(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx,

通过换元法把三角函数的最值问题转化为我们所熟悉的二次函数的最值问题，从而使问题得以解决.换元法是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法，是转化与化归思想的具体体现.

4.命题的等价转化

( )

解题思路：该题是解析几何与概率的综合题目.

过点A(1，1)可以作两条直线与圆

在该圆外

解得k<-4或-1

又k∈[-2,2]，所以-1

在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式,它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换.在解题过程中进行化归与转化时,要遵循以下五项基本原则:(1)化繁为简的原则;(2)化生为熟的原则;(3)等价性原则;(4)正难则反的原则;(5)形象具体化原则.

5.函数与方程转化

【案例5】方程sinx=lgx的解有

( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

与函数y=lgx图象

交点的个数

解：画出函数y=sinx与y=lgx的图象如图，

由图象可知共有三个交点，故选C.

本题是先把方程的问题转化为函数问题，再运用数形结合思想转化为求函数图象交点问题，寻求几何性质与代数方程之间的内在联系.

函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系,解决方程、不等式的问题，需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题;将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题;将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题等.