高中数学核心素养研究之数学运算

湖北 柯张军 王卫华

数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成的.数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力.新课标提出数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.笔者经过对新课标的研究和学习，结合考试大纲和个人教学实际就核心素养之数学运算提出自己的研究心得.

一、数学运算概念解读

新课标对数学运算核心素养的定义是从四个方面表述的，分别是：

数学运算概念：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.

学科价值：数学运算是解决数学问题的基本手段.数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础.

具体表现：数学运算主要表现为理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.

教育价值：通过高中数学课程的学习，学生能进一步发展数学运算能力；有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.

二、数学运算与其他核心素养的联系

学科核心素养被称为继课程改革之后基础教育最重要的研究成果，其在综合了国外已有经验的基础上，对国内的总体教学以及学科教学提出了新的理念与认识.就数学学科而言，其既沿袭了传统数学教学中的精髓，又融入了新的理解.从数学学科核心素养的六个方面来理解数学运算，可以形成这样的认识：数学运算反映了学生的数学素养.数学运算是利用运算法则解决数学问题的过程，在这个过程中，学生需要经历分析运算对象，猜想运算方向，选择运算规则，计算并判断问题结果等环节，这些环节中，其他的核心素养常常也需要发挥作用，如在分析运算对象的时候，就常常用到数学建模，在选择运算规则的时候也必然会用到逻辑推理，运算的过程本身就是一个数据分析的过程，在猜测运算方向与判断运算结果的时候，直观想象也会发挥重要的作用.因此，数学运算与其他核心素养密切相关，相互联系并相互促进.

三、数学运算的学业质量要求及水平划分

高中数学的“四基”是基础知识和基本技能、基本思想和基本活动经验，“四能”是指发现问题的能力，提出问题的能力，分析问题的能力和解决问题的能力.数学学科核心素养是“四基”的继承和发展，“四基”是培养学生数学学科核心素养的沃土，是发展学生数学学科核心素养的有效载体.

新课标提出体现数学学科核心素养的四个方面如下：

情境与问题：情境主要是指现实情境、数学情境、科学情境.问题是指在情境中提出的数学问题；

知识与技能：主要是指能够帮助学生形成相应数学学科核心素养的知识与技能；

思维与表达：主要是指数学活动过程中反映的思维品质、表述的严谨性和准确性；

交流与反思：主要是指能够用数学语言直观地解释和交流数学的概念、结论、应用和思想方法，并能进行评价、总结与拓展.

数学学业质量水平是六个数学学科核心素养水平的综合表现.每一个数学学科核心素养划分为三个水平，每一个水平是通过数学学科核心素养的具体表现和体现数学学科核心素养的几个方面进行表述的.其中数学运算核心素养的水平划分如下：

水平一：能够在熟悉的数学情境中了解运算对象，提出运算问题.

能够了解运算法则及其适用范围，正确进行运算；能够在熟悉的数学情境中，根据问题的特征建立合适的运算思路，解决问题.

在运算过程中，能够体会运算法则的意义和作用，能够运用运算验证简单的数学结论.

在交流的过程中，能够用运算的结果说明问题.

水平二：能够在关联的情境中确定运算对象，提出运算问题.

能够针对运算问题，合理选择运算方法、设计运算程序，解决问题.

能够理解运算是一种演绎推理；能够在综合利用运算方法解决问题的过程中，体会程序化思想的意义和作用.

在交流的过程中，能够借助运算探讨问题.

水平三：在综合情境中，能把问题转化为运算问题，确定运算对象和运算法则，明确运算方向.

能够对运算问题，构造运算程序，解决问题.

能够用程序化的思想理解与表达问题，理解程序化与计算机解决问题的联系.

在交流的过程中，能够用程序化思想理解和解释问题.

数学学业质量水平一是高中毕业应当达到的要求，也是高中毕业的数学学业水平考试的命题依据；数学学业质量水平二是高考的要求，也是数学高考的命题依据；数学学业质量水平三是基于必修、选择性必修和选修课程的某些内容对数学学科核心素养的达成提出的要求，可以作为大学自主招生的参考.

四、案例分析

新课标要求教师在教学活动中落实“四基”，培养“四能”，促进学生数学学科核心素养的形成和发展，达到相应水平的要求，部分学生可以达到更高水平的要求，笔者选取部分案例探讨如何培养学生的数学运算素养.

【例1】已知等差数列{an}满足：a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn．

(Ⅰ)求an及Sn；

【案例评析】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键.第一问求an及Sn，这直接利用等差数列通项公式和求和公式，如果学生能根据公式列方程求解，根据满意原则，可以认为达到数学运算素养水平一的要求.第二问求数列{bn}的前n项和Tn，先化简变形再裂项法求数列的和，说明学生熟悉运算对象并且能够明晰运算途径、得到运算结果，根据加分原则，可以认为达到数学运算素养水平二的要求.

【例2】如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD,AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高 ，E为AD中点.

(Ⅰ)证明：PE⊥BC;

(Ⅱ)若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.

【解析】以H为原点，HA,HB,HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，设线段HA的长为1， 建立空间直角坐标系如图，

则A(1，0，0)，B(0，1，0).

设n=(x,y,z)为平面PEH的法向量，

【案例评析】本题考查向量法解决立体几何问题，主要体现直观想象和数学运算素养.通过向量计算和证明体会运算法则的作用，感知运算是一种严格的逻辑推理，通过一般性运算可以发现和提出命题、掌握推理的基本形式和规则、探索和表述论证的过程，发展数学运算素养.本题向量法比几何法简单，第一问能用向量法证明，根据满意和加分原则，可以认为达到数学运算素养水平一和水平二的要求.第二问能把线面角转换成向量夹角问题，通过向量运算求解，说明学生具有综合转化能力，依据加分原则，可以认为达到数学运算素养水平三的要求.

(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；

【解析】(Ⅰ)由题知，f(x)的定义域为(0,+∞)，

(ⅱ)若a-1<1，又a>1，故1

当x∈(0,a-1)及x∈(1,+∞)时，f′(x)>0.

故f(x)在(a-1,1)上单调递减，在(0,a-1)，(1,+∞)上单调递增.

(ⅲ)若a-1>1，即a>2， 同理可得f(x)在(1，a-1)上单调递减，在(0,1)，(a-1,+∞)上单调递增.

由于10，即g(x)在(0,+∞)上单调递增，从而当0

【案例评析】本题考查导数的综合应用.第一问学生能求导数f'(x)说明学生能运用求导运算，根据满意原则，可以认为达到数学运算素养水平一的要求.分类讨论导数符号确定单调性，说明学生数学运算能达到一定的深度和广度，根据加分原则，可以认为达到数学运算素养水平二的要求.第二问能分析得出用构造函数的方法去解决，说明学生能在综合情境中，把问题转化为构造函数求导运算问题，确定运算对象和运算法则，明确运算方向，根据加分原则，可以认为达到数学运算素养水平三的要求.

五、反思与建议

以上的三个案例分别从数列、向量、导数三方面知识分析了学生数学运算素养水平并作出合理评价.教学评价是数学教学活动的重要组成部分.评价应以课程目标、课程内容和学业质量标准为基本依据，日常教学活动评价，要以教学目标的达成为依据.评价要关注学生数学知识技能的掌握，还要关注学生的学习态度、方法和习惯，更要关注学生数学学科核心素养水平的达成.教师要基于对学生的评价，反思教学过程，总结经验、发现问题，提出改进思路.因此，数学教学活动的评价目标，既包括对学生学习的评价，也包括对教师教学的评价.