2018年高考数学文化题赏析

陕西 韩红军

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出：数学文化是“贯穿于整个高中数学课程的重要内容之一”，并要求将其渗透在每个模块或专题中，进而给出一些蕴含数学文化价值的选题.教育部考试中心公布的《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》也要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极的导向作用.比如，在数学中增加数学文化的内容”.

数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点，以及它们的形成和发展，核心是数学的理性精神，即探索质疑、求真务实以及遵循公理、注重方法等.广泛地说，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文部分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系等.2018年高考文理共13份试卷，共涉及数学文化方面的试题6道.试题秉承高考大纲“增加数学文化”的要求，深入挖掘高中数学所学知识与数学文化的结合点，展现了数学的科学价值和人文价值，给人耳目一新的感觉，为高考注入了新的活力.

一、以古代著名图形为背景命题

【例1】(2018·全国卷Ⅰ·理10)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则

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A.p1=p2B.p1=p3

C.p2=p3D.p1=p2+p3

【分析】该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.

【例2】(2018·上海卷·15)《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是

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A.4 B.8 C.12 D.16

解：只要能找到AA1所在矩形的个数，并根据每个矩形可作4个阳马的基本位置关系，其中AA1与对应的底面另一条边组合的俯视图如下，共4种情况，则共可有“阳马”16个，故选D．

《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十数》中最重要的一种，成于公元一世纪左右.该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.它最早提到分数问题，也首先记录了盈不足问题，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则.高考中常见的著名图形有：太极图、赵爽弦图、杨辉三角、鳖臑、毕达哥拉斯形数等.全国卷Ⅰ理科第10题以三个半圆构成的几何图形为背景，主要考查面积型几何概型，趣味性很强；上海卷第15题以立体几何图形——阳马为背景，主要考查计数原理，引导学生理解数学.

二、以著名数学猜想为背景命题

【例3】(2018·全国卷Ⅱ·理8)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

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【分析】先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求解.

哥德巴赫猜想、费马猜想、四色猜想是世界近代三大数学猜想，1742年，哥德巴赫给欧拉的信中提出了如下猜想：任一大于2的偶数都可以写成两个质数之和.欧拉一直到死，也没有证明，挪威、德国、英国、意大利、前苏联、匈牙利和中国等国数学家一直没有停止研究的步伐，直到1966年，我国的陈景润证明了“1+2”.高考中常见的著名数学猜想有：角谷猜想、四色猜想、费马猜想等.全国卷Ⅱ理科第8题以数论这个数学王冠上的最明亮的宝珠——哥德巴赫猜想为背景，主要考查古典概型，使学生感受中国古代数学的博大精深和数学家崇高的品质，增强爱国主义情怀.

三、以古代数学名题为背景命题

【分析】实际问题数学化，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，将z代入解方程组可得x，y值.

我国古代出现过刘徽、祖冲之、祖暅、杨辉等一大批享誉世界的数学家，以及《九章算术》、《数书九章》、《算数书》、《算法统宗》等数学名著，这些著名的数学家和数学名著中记载了许多数学名题，高考中常以祖暅原理、刘徽“割圆术”、将军饮马问题、高斯函数、韩信立马分油问题、韩信点兵问题、斐波那契数列、阿波罗尼斯圆、米勒问题、皮克定理、勃罗卡点等古代中外名题为背景.浙江卷第11题立足著名的百鸡问题，主要考查三元一次方程的解法.

四、与其他学科交汇的数学文化为背景命题

1.数学文化与建筑学交汇

【例5】(2018·全国卷Ⅲ·理3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

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【分析】俯视图要从上向下看，观察图形，因为卯眼凹进去，所以俯视图中应画成虚线.

中国古建筑以木材、砖瓦为主要建筑材料，以木构架结构为主要的结构方式，由立柱、横梁、顺檩等主要构件建造而成，各个构件之间的结点以榫卯相吻合，构成富有弹性的框架.榫卯是在两个构件上采用的一种凹凸部分相结合的连接方式，凸出部分叫榫(或榫头)；凹进部分叫卯(或榫眼、榫槽)，榫和卯咬合，起到连接作用.这是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式.榫卯结构是榫和卯的结合，是木件之间多与少、高与低、长与短之间的巧妙组合，可有效地限制木件向各个方向的扭动.最基本的榫卯结构由两个构件组成，其中一个的榫头插入另一个的卯眼中，使两个构件连接并固定.榫头伸入卯眼的部分被称为榫舌，其余部分则称作榫肩.本题将数学文化与建筑学中的榫卯结构有机地结合起来，设计新颖，考查了立体图形的三视图.

2.数学文化与音乐学交汇

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【分析】根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.

“十二平均律”亦称“十二等程律”,世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的振动数之比完全相等.十二平均律是指将八度的音程(二倍频程)按频率等比例地分成十二等份，每一等份称为一个半音即小二度.一个大二度则是两等份. 将一个八度分成12等份有着惊人的一些凑巧.它的纯五度音程的两个音的频率比(即2 的7/12 次方)与1.5 非常接近，人耳基 本上听不出“五度相生律”和“十二平均律”的五度音程的差别.十二平均律在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用，现在的钢琴即是根据十二平均律来定音的.本题将数学文化与音乐学中的“十二平均律”完美地结合起来，考查了等比数列的有关概念和通项公式的计算.

五、数学文化试题在今后教学中的建议

今后的课堂教学中，教师通过数学文化试题让学生感受中国数学家在科学的道路上不屈不挠、锲而不舍、为科学鞠躬尽瘁、舍生忘死的高贵品质和精神，感受中国数学文化的博大精深，激发学生的爱国主义情怀，增强学生的民族自豪感和使命感，树立为我国科学事业刻苦学习、奋斗终生的人生规划和目标，在民族复兴中实现自己的人生价值.

第二，在创设情境引入新课时可以渗透数学文化.引入新课时创设情境有利于激发学生的学习欲望和主动参与的兴趣，使学生主动思考问题，积极投入到自主探索、合作交流的氛围中.例如，在解析几何的序言课上，可以向学生介绍解析几何的创始人——笛卡尔的故事，笛卡尔一天睡醒后观察天花板上苍蝇的爬动，受其启发，才创建了解析几何，这是数学发展史上的一个里程碑，具有划时代的意义.通过这样一个小故事，将数学背景包含在学生熟悉的情境中，让学生倍感亲切，使学生从中体验到数学发现的兴趣，激发学生学习的热情.

第三，深入挖掘教材中的数学文化素材，在教学中合理利用教材中关于数学文化的相关资源.高考数学文化试题大部分都可以在教材中找到原型，例如高斯函数、阿波罗尼斯圆、角谷猜想、斐波那契数列、刘徽割圆术、祖暅原理、更相减损术、韩信点兵、狄利克雷函数、伯努利不等式、赵爽弦图、杨辉三角等，都曾在教材的正文、例(习)题、教材阅读与思考探究等栏目中出现过.教学中，我们以这些资源为引，设置或编制一些与之相关的数学文化试题与这些数学文化知识相配套.