2018年高考函数问题聚焦

2018-12-07陕西刘大鸣

教学考试(高考数学) 2018年5期

陕西刘大鸣

函数是中学数学的核心内容，是高中数学知识的一条主线，也是历年高考数学的考查重点，了解高考要求及近年来高考动态，熟悉并掌握各类函数问题的题型与解法，对于2019年高考一轮复习备考，提高高考成绩，有着非常重要的意义.本文以2018年高考函数试题为载体，聚焦其考查方向，归纳提炼其题型和求解的通性通法，希望对教师指导学生们备考初等函数有所帮助.

聚焦1 函数的概念、定义域、值域

1.1 函数的定义域

解析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.

要使函数f(x)有意义，则log2x-1≥0，解得x≥2，则函数f(x)的定义域为[2,+∞).

反思：求函数的定义域，从分式分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发构建不等式(组)求解，常常与集合的交、并、补运算联系在一起,有时还涉及复合函数的定义域，凸显整体变量观念的认识和应用.2017年山东卷理第1题将集合运算与定义域相结合进行考查.

1.2 合理运用对应法则求参数值

例2(2018·全国卷Ⅰ文·13)已知函数f(x)=log2(x2+a)，若f(3)=1,则a=________.

解析：依据对应法则构建对数方程求解，

∵f(3)=1,f(x)=log2(x2+a),

∴log2(9+a)=1,∴9+a=2，

解得a=-7.

反思：函数的对应法则揭示了因变量与自变量之间的唯一对应关系，利用对应法则可以求函数值，还可以构建方程解决自变量或参数值的问题.

1.3 利用导数研究函数的单调性,进而确定最值

例3(2018·全国卷Ⅰ理·16)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是 .

解析1：直接对函数进行求导，确定导函数值在区间上的正负，确定出函数的单调区间，进而求得函数的最小值.

∵f(x)=2sinx+sin2x,

∴f′(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2

解析2：利用“万能”公式，选主元构造辅助函数，求导研究最小值.

∵f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx)，

φ(t)在取负值的情况下有最大值，则f(x)有最小值，

品味：给出解析式的函数最小值问题，要依据函数解析式的结构选用求导法则和导数公式,准确求出导函数，且化为因式积的形式，借助导函数的零点分区间探究各个因式的积,确定导函数在各个区间上的正负，确定出函数的单调递增区间和单调递减区间，进而求得函数的最值点，代入求得函数的最值.这是由导函数值的符号与函数的单调性的关系决定的.解析2先化简解析式，换元构造辅助函数，再求导利用三角的“万能”公式把解析式化成“统一”形式.

1.4 二元变量的函数最小值求解中的“多种思维方法”

反思：二元变量的函数最值，把握题设条件和所求函数的结构特征，常常直接运用均值不等式寻找简捷的途径或降元转化为一元函数的最值,用不等式求解.解析1直接运用不等式求最小值;解析2把握整体两个变量的对等地位，特殊化取相等求最值，来源于不等式去等号的经验的类比;解析3换元凑出积为定值明确了解题的方向;解析4运用等式的作用，一个变量用另一个变量来表示，降元代入目标式易凑定值是最基本也是最容易想到的通法.

聚焦2 函数的图象及其变换

2.1 函数解析式与其图象匹配中的“函数性质和排除法”的应用

例5(2018·浙江卷·5)函数y=2|x|sin2x的图象可能是

( )

反思：函数解析式与函数图象的匹配方法：

(1)由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；

(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)由函数的周期性，判断图象的循环往复.

常常选用奇偶性和区间上单调性以及特殊值寻求简捷解题途径.

2.2 函数解析式与其图象匹配中的“排除法和导数法”的应用

( )

(2)(2018·全国卷Ⅲ·理7，文9)函数y=-x4+x2+2的图象大致为

( )

解析:(1)从定义域、奇偶性、特殊点处的函数值、局部单调性(导数法)等寻求解析式与图象的一一对应，选择排除法求解.

反思：函数的图象是函数的重要表示方法，从图象中我们可以直观形象地感知函数的性质，揭示函数本质属性和图象之间的一一对应的关系，即函数解析式与函数图象的匹配为综合考查函数的热点题型，它要求把握图象的重要特点，合理的运用图象，从定义域、对应法则、值域、对称性、局部单调性(定义法或导数法)上与解析式匹配，常常运用“排除法”解题.

聚焦3 灵活应用指数函数或对数函数的性质进行数式的大小比较

3.1 利用指数函数和对数函数的单调性确定大小关系

( )

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

3.2 利用对数运算和对数函数及不等式判断大小关系

例8(2018·全国卷Ⅲ理·12)设a=log0.20.3，b=log20.3，则

( )

A.a+b

C.a+b<0

∵a=log0.20.3，b=log20.3，

∵0=log0.31

又∵a>0，b<0，

∴ab

反思：对于指数幂和对数的大小比较，我们通常都是运用指数函数或对数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，对数的底数和真数不同，不能直接利用函数的单调性进行比较，这就必须掌握一些特殊方法.在进行大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，如本题中交换对数的底数和真数，然后利用对数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确.

聚焦4 巧用函数奇偶性和周期性简化求值

例9(2018·全国卷Ⅱ理·11)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=

( )

A.-50 B.0

C.2 D.50

解析:先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值简化求结果.

∵f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，

且f(1-x)=f(1+x),

∴f(0)=0,f(1+x)=-f(x-1),

∴f(3+x)=-f(1+x)=f(x-1),

∴周期T=4,

因此f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)，

∵f(3)=-f(1),f(4)=-f(2)，

∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,

∵f(1+x)=f(1-x),∴令x=1得f(2)=f(0),

∴f(2)=0，

从而f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)=2,故选C.

聚焦5 函数的对称性的探究及应用

5.1 复合函数的对称中心的探究及应用

5.2 两函数图象的对称轴的应用

例11(2018·全国卷Ⅲ文·7)下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是

( )

A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x)

C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x)

解析:直接运用对称轴的意义，代入法求曲线关于直线的对称曲线，f(x)的图象与y=lnx的图象关于直线x=1对称，则f(x)=f(2-x)=ln(2-x)，故选B.

反思：本题实质为两不同的函数关于特殊直线的应用，利用对称性研究相关点和所求点之间的关系，借助相关点在已知的函数图象上得到所求点的函数关系式，称为代入法或相关点法求函数的解析式，注意到对数函数恒过(1,0)点可求出其对称点进行验证.

聚焦6 分段函数

6.1 分段函数的求值

反思：分段函数的周期性和区间上的解析式都是函数对应法则的体现，求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值,由函数值确定自变量时，依据对应法则,构建方程求解.

6.2 以分段函数为背景的不等式求解中的“分类与整合”

反思：以分段函数为背景的不等式的求解，依据区间上的解析式，对号入座进行分类，在每类下构建不等组求交集，最后求并集，凸显“先分后和”的“分类与整合”思想的具体应用.

6.3 以分段函数为背景的不等式求解中的“多种思维方法”

( )

A.(-∞,-1] B.(0,+∞)

C.(-1,0) D.(-∞,0)

反思：以分段函数为背景，通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，注意选择题的特征，可利用特殊值法验证求解；还可以分三类构建不等式组求解；利用分段函数函数图象和性质可简化压缩思维过程，由图象要出现函数值的大小，绝对不可能是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式(组)，进而简化求得结果.三种不同的思维过程折射出不同的数学素养.

6.4 函数不等式恒成立问题中的“合理转化”

解析：由x∈[-3,+∞)分类讨论，分离参数a，结合恒成立的条件构建函数，求值域可得参数的范围.

①当x>0时，f(x)≤x，即-x2+2x-2a≤x，

②当-3≤x≤0时，f(x)≤-x,即x2+2x+a-2≤-x，整理可得a≤-x2-3x+2，

由恒成立的条件可知a≤(-x2-3x+2)min(-3≤x≤0)，

结合二次函数的性质可知当x=-3或x=0时，(-x2-3x+2)min=2,∴a≤2.

反思：对于函数不等式恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⟺a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⟺a≤f(x)min.有关二次函数的问题，密切联系图象是探求解题思路的有效方法,一般从①抛物线开口方向；②对称轴位置；③判别式；④区间端点函数值符号四个方面分析.

6.5 分段函数零点问题转化为两函数图象交点个数问题，利用图象关系及性质求解

( )

A.[-1,0) B.[0,+∞)

C.[-1,+∞) D.[1,+∞)

解析:依据g(x)存在2个零点，得到方程f(x)+x+a=0有两个解，将其转化为f(x)=-x-a有两个解，即直线y=-x-a与曲线y=f(x)有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出分段函数f(x)的图象，画出直线y=-x，并将其上下移动，从图中可以发现，当-a≤1时，满足直线y=-x-a与曲线y=f(x)有两个交点，从而求得a≥-1，故选C.

反思：函数零点转化为方程的根，再转化为“一次运动(动)函数”和“其他类型静止(定)函数”的关系，借助直线系运动寻找临界值，构建不等式求解.

6.6 方程根合理转化两函数图象交点个数问题，利用图象关系及性质求解

解析:由题意分类讨论x≤0和x>0两种情况，分区间构造方程，探究两根的条件，从而确定参数的范围.

当x≤0时，方程f(x)=ax，即x2+2ax+a=ax，

整理可得x2=-a(x+1)，

当x>0时，方程f(x)=ax，即-x2+2ax-2a=ax，

原问题等价于函数g(x)与函数y=a有两个不同的交点，求a的取值范围.

由对勾函数的图象及换元法可得

m(u)在(-∞,-1)上递减，在(-1,0),(0,1)上递增，在(1，3)，(3，5)上递减，在(5,+∞)上递增，

注意y=a(a>0)的图象，考查临界条件且a>0，于是 4=m(-1)

反思：方程根的问题从解方程入手，分离参数构建新的函数，转化为该函数图象与平行于x轴的直线系的交点问题，换元研究新对勾函数的图象和性质，寻找临界值，构建不等组求解，凸显函数图象的应用价值.

聚焦7 构建函数模型，利用导数法探究单调性进而求解实际应用问题

例18(2018·江苏卷·17)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.

(Ⅰ)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；

(Ⅱ)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.