导数在高中数学解题中的有效应用

阚晓宝

摘要：导数是微积分中的概念之一，体现了函数的局部性质，在现代很多领域均有应用.基于此，本文试分析高中数学函数中导数的应用.作为高中学习的难点之一，函数的抽象性较强，应用导数相关理论可以使学生的学习效果得到提升，也是本文进行相关分析的主要目的.

关键词：导数 高中数学解题 应用

导数是高中数学学习的重要内容，它在许多方面的解题中有着广泛的应用，特别是在函数问题的解决中有着重要作用.如果能够熟练掌握导数的概念、性质、定理等，并加以灵活运用，就能在数学解题中起到事半功倍的效果，并能有效提高学生分析和解决数学问题的应用能力.笔者结合高中数学教学实践，对导数解题应用进行了深入探索.

一、高中数学导数知识的简介

导数是数学发展的一个里程碑，标志着近代数学的过渡与转型，导数为函数和变量的研究提供了新的手段与方法.通过导数的学习，我们可以体会到其中丰富的思想内容，感受到导数在解决实际问题中的应用意义.在初次接触导数的学习时，很多同学都感到模棱两可，从学习流程来看，在学习导数前，会经历学习数列、数列极限、函数极限三个过程，其与导数之间是息息相关的，为了便于理解，教材从变化率着手，采用“趋于”“趋近于”“无限变小”“无限逼近于”的描述方法类描述极限的过程，可以避免我们出现学习矛盾，帮助我们对导数知识产生深层次的理解，为后续的学习奠定坚实的基础.从导数这一章节的内容来看，包括结构方面，即导数概念与几何意义；求导法则与四则运算；函数单调性与导数关系；函数在某点取极值的充分必要条件；导数在生活中的优化措施.要学好导数，我们需要先把握好导数的概念和思想，逐一突破难点和重点内容.

二、导数在高中数学解题中的有效应用

1.函数单调性相关学习中导数的应用.

单调性是指函数的变化规律是固定单调递增或单调递减的.在有关单调性的理论中，如果导数值小于0，函数变化往往为单调递减；如果导数值等于0，表示此点对应函数的驻点；如果导数值大于0，则函数变化往往为单调递增.函数单调递减的取值随着导数数值的变化而变化，通常是不断变小、以致无穷，这一取值区间被称为递减区间；函数单调递增的取值随着导数数值的變化而变化，通常是不断变大、以致无穷，这一取值区间被称为递增区间.递减区间和递增区间统一称为单调区间.

2.利用导数求函数极（最）值.

极值是一个局部概念，每个极值都是相对于该极值点附近而言的，极值的大小关系是不确定的.函数极值的定义适用于任何一个函数，每个函数都可用定义判断极值，函数可以有极值，也可能没有极值.如有极值，可能是一个，也可能是多个.最值不同于极值，它是相对整个定义域区间（包括端点）而言，函数极值不一定是最值，最值也不一定是极值.最值必在下列点中取得：导数为0的点、导数不存在的点或端点.

3.在高中函数中应用导数知识解决实际问题.

一般来说，数学知识在现代生活中应用较少，一些需要专业计算的领域往往借助高端设备，因此函数、导数知识的应用通常仅限于理论层面.比如汽车赛道的相关计算，在公路汽车赛、F1方程式汽车赛中，需要了解赛车运行的各类参数，在参数的确定工作中，函数、导数相关知识得到应用.公路汽车赛中，由于所用赛车的动力强劲，零部件磨损十分严重，每隔一段距离需要进行一次赛车零件更换，为求减少更换零件带来的时间消耗，维修点往往设置在赛道上.调查显示，在整个赛车过程中，车辆高速前进的时间达到90%以上，而骤然启停又会带来一定的危险，因此维修点通常在汽车可以缓慢降速的地段，比如直赛道，在具体选择的过程中，就需应用函数和导数相关知识.以汽车运行速度、刹车降速情况作为已经条件，目标点为速度极小值，通过极小值运算，即可得出放置维修点的最佳地点.将赛车的运行近似为一个递减函数，取值区间为汽车最高速度和最低速度，当汽车从高速运行的状态开始减速时，减速点为取值区间的起点，根据降速的情况，可以判断取值区间的终点，也就是维修点的位置.

函数是高中数学的主线，因此导数与高中数学的融会关系将会更近一步.高中数学是高中课堂极为重要的一门功课，在高考中占据很大的分量.导数作为高中数学的重要知识，不仅蕴含着丰富的数学思想，也是一种简捷而有效的解题工具，对于解决数学问题有极大的帮助，因此，教师必须注重对导数的教学.