三力作用下的动态平衡问题的归类探析

辽宁 顾婷婷

力学知识是高中物理的重点学习内容，也是高考重点考查内容，其中静态力学中的平衡问题更是高频考点，几乎各省和新课标全国卷每年都会考查。而平衡问题中较难的是三力作用下的动态平衡问题，随着物体的缓慢运动，物体所受力的大小、方向都可能发生变化，为我们的求解制造困难。但这类问题也不是无规律可循，根据三力的变化情况，可归纳为以下三类：

一、一力大小、方向不变，一力方向不变的三力动态平衡

【例1】如图1光滑斜面上安装一光滑挡板AO，挡板可绕O处铰链无摩擦转动，在挡板与斜面间放一匀质球，现使挡板从图示位置缓慢转到竖直位置，此过程中球对挡板的压力FN1和球对斜面的压力FN2的变化情况。

图1

【解析】对球受力分析，构建矢量三角形，通过三角形边长及两边夹角的变化，判断力的变化情况。如图2在挡板缓慢转动过程中，mg大小、方向不变，FN2方向不变，选位置1、2、3，可直观判断FN1先减小，后增大；FN2一直在增大。

【答案】FN1先减小，后增大；FN2一直在增大

图2

【方法总结】“一力大小、方向不变，一力方向不变”的三力动态平衡问题，是最简单的一类动态平衡问题，通常采用矢量三角形法，通过矢量三角形的动态变化直观地判断各力的变化情况。

二、一力大小、方向不变，另两力方向都变得三力动态平衡

【例2】如图3所示为一简易起重装置，AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上。开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓缓变小，直到 ∠BCA=30°。在此过程中，杆BC所受的压力及钢丝绳的拉力的变化情况(不计一切摩擦阻力)。

图3

【答案】杆的支持力不变，绳的拉力变小

图4

【方法总结】“一力大小、方向不变，另两力方向都变”的这类问题比第一种情况稍复杂，用“相似三角形法”来处理。首先仍然要构建矢量三角形，但由于不定因素太多，不能直观判断各力的变化情况，所以要借助几何关系，构建合适的“几何三角形”与“矢量三角形”相似，并列出对应边的比例关系。从而，通过动态变化过程中几何边的变化来确定各力的变化。

三、一力大小、方向不变，另两力夹角保持不变的三力动态平衡

( )

图5

A.MN上的张力逐渐增大

B.MN上的张力先增大后减小

C.OM上的张力逐渐增大

D.OM上的张力先增大后减小

【解析】对于该类问题有三种解题方法：

方法一：解析法(正弦定理)

图6

方法二：作图法(矢量三角形)

根据三力合力为零，能构成封闭的三角形，再借助圆的知识，同一圆弧对应圆周角(γ=180°-α)不变。如图7

图7

动态变化过程中，P点沿圆弧顺时针方向旋转的过程中，当FOM先增大后减小，且过直径时最大，而FMN一直增大。如图8

图8

方法三：转换法(等效法)

如图9，动态变化过程等效为细绳OM、MN不动，重力G顺时针旋转90°。同样利用作图法能够判断出OM上的张力先增大后减小，而MN上张力一直增大。

图9

【方法总结】“一力大小、方向不变，另两力夹角保持不变”的情况是动态平衡中最难的一类问题。解决该类问题可根据不同的问题情景，酌情选择上述三种解题方法。这三种方法都立足于构建矢量三角形，结合相应的数学知识，建立边角间定性或定量的关系。其实，第三类问题并不罕见，我们可以综合利用上述方法来解决多种形式的问题。

【答案】AD

(1)A、B间弹力的最大值；

(2)动摩擦因数的最小值。

图10

图11

对于第二问最好采用作图法

如图12，对B球受力分析，B与地面间的摩擦力由A、B间弹力决定

图12

如图13，继续探讨A球受力的变化情况

图13

由图可知，初始位置时A球所受的支持力的水平分量最大，竖直分量最小，可推知B球此时所受地面摩擦力最大，而对地面的压力最小。即整个动态平衡过程中，初始位置是欲发生相对滑动的摩擦力最大处，此时摩擦因数也为保持B球静止的最小值

fmax=μminF地min

对于该类三力平衡问题，考查的形式也并不局限于选择题和解答题，甚至可以以实验题为背景进行考查，如下：

【拓展二】某实验小组用一只弹簧测力计和一个量角器等器材验证力的平行四边形定则，设计了如图14所示的实验装置，固定在木板上的量角器的直边水平，橡皮筋的一端固定于量角器的圆心O的正上方A处，另一端系绳套1和绳套2。主要实验步骤如下：

图14

(1)弹簧测力计挂在绳套1上竖直向下拉橡皮筋，使橡皮筋的结点到达O处，记下弹簧测力计的示数F；

(2)弹簧测力计挂在绳套1上，手拉着绳套2，缓慢拉橡皮筋，使橡皮筋的结点到达O处，此时绳套1沿0°方向，绳套2沿120°方向，记下弹簧测力计的示数F2；

(3)比较F2与F的关系，只要F2=F，即可初步验证；

(4)根据力的平行四边形定则计算绳套1的拉力F= ；

(5)只改变绳套2的方向，重复上述实验步骤。

(6)将绳套1由0°方向缓慢转动到60°方向，同时绳套2由120°方向缓慢转动到180°方向，此过程中保持橡皮筋的结点在O处不动，保持绳套1和绳套2的夹角120°不变。关于绳套1的拉力大小的变化，下列结论正确的是 (填选项前的序号)

A.逐渐增大 B.先增大后减小

C.逐渐减小 D.减小后大

【解析】针对于该实验的第(6)问，考查的是对平衡问题的理解，如果学生能掌握上述物理模型及物理规律，便可准确解决问题。

该题可采用转换法，如图15，等效重力由位置①转至位置②，该过程中，绳套1的拉力逐渐增大，绳套2的拉力逐渐减小。

图15

【答案】(6)A

通过两道拓展习题，我们能够体会到这种最复杂的三力平衡问题也可以以直接性或间接性问题形式进行考查，但只要能提炼出物理模型，准确选择上述三种方法，都能迎刃而解。对于三力作用下的平衡问题，根据三力的变化特点归纳为以上三类，由简到繁，由定性到定量，使解决的方法也都有据可循。即使问题的背景或设问形式有所不同，但只要抓住各力的变化特点，所有问题都可殊途同归。